Krok 1. Obliczenie miary kąta \(\alpha\).
Z tabelki trygonometrycznej musimy odczytać jaką miarę przyjmuje kąt dla sinusa równego \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Spoglądając do tak zwanej małej tabelki widzimy, że będzie to miara \(45°\).
Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nasz graniastosłup jest prawidłowy czworokątny, czyli w podstawie będzie miał on kwadrat. Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco:
Zwróć uwagę, że powstał nam trójkąt równoramienny, w którym wysokość \(H\) będzie miała taką samą długość jak przekątna podstawy \(b\). Z własności kwadratów wiemy, że \(b=a\sqrt{2}\), zatem \(H=a\sqrt{2}\). Dodatkowo przekątna graniastosłupa \(d\) będzie \(\sqrt{2}\) razy większa od przekątnej podstawy \(b\), czyli \(d=a\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2a\).
Krok 3. Zapisanie objętości graniastosłupa.
Wzór na objętość graniastosłupa to w tym przypadku:
$$V=a^2\cdot H$$
$$V=a^2\cdot a\sqrt{2}$$
$$V=a^3\cdot\sqrt{2}$$
Chcąc dopasować się do odpowiedzi, musimy jeszcze nasz wynik przekształcić. Wiedząc, że \(d=2a\), czyli że \(a=\frac{1}{2}\), otrzymamy:
$$V=\left(\frac{1}{2}d\right)^3\cdot\sqrt{2}$$
$$V=\frac{1}{8}d^3\cdot\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{8}d^3$$