📄 Treść zadania
Objętość prostopadłościanu, którego każda następna krawędź jest dwa razy dłuższa od poprzedniej, wynosi \(216\). Pole powierzchni tego prostopadłościanu jest równe:
A
\(126\)
B
\(252\)
C
\(522\)
D
\(110\)
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Jeżeli pierwszą krawędź oznaczymy sobie jako \(a\), to druga zgodnie z treścią zadania będzie dwa razy większa, czyli \(b=2a\), a kolejna będzie jeszcze dwa razy większa, czyli \(c=4a\).
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi prostopadłościanu.
Objętość naszej bryły jest równa \(216\), zatem korzystając ze wzoru na objętość możemy zapisać, że:
$$V=a\cdot b\cdot c$$
$$216=a\cdot2a\cdot4a$$
$$216=8a^3$$
$$a^3=27$$
$$a=3$$
Skoro \(a=3\), to zgodnie z wcześniejszymi oznaczeniami \(b=2\cdot3=6\) oraz \(c=4\cdot3=12\).
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni prostopadłościanu.
Korzystając ze wzoru na pole powierzchni prostopadłościanu możemy zapisać, że:
$$P_{c}=2ab+2ac+2bc$$
$$P_{c}=2\cdot3\cdot6+2\cdot3\cdot12+2\cdot6\cdot12$$
$$P_{c}=36+72+144$$
$$P_{c}=252$$