📄 Treść zadania
Prostą równoległą do prostej \(k: 3x+2y-5=0\), przechodzącą przez punkt \(P=(2,-5)\), jest prosta:
A
\(l: y=-\frac{3}{2}x-2\)
B
\(l: y=\frac{3}{2}x-2\)
C
\(l: y=-\frac{3}{2}x+2\)
D
\(l: y=\frac{3}{2}x+2\)
Krok 1. Zapisanie równania prostej w postaci kierunkowej.
Prosta \(k\) zapisana jest w postaci ogólnej, a my potrzebujemy postaci kierunkowej \(y=ax+b\) (bo tylko wtedy będziemy mogli przyrównać współczynniki kierunkowe). Musimy więc przekształcić równanie \(3x+2y-5=0\) w taki sposób, aby po lewej stronie był sam \(y\), a po prawej cała reszta zapisu. Zatem:
$$3x+2y-5=0$$
$$2y=-3x+5$$
$$y=-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$$
Krok 2. Ustalenie równania prostej równoległej.
Aby dwie proste były względem siebie równoległe, muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy. Nasza pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{3}{2}\), więc prosta równoległa będzie się wyrażać równaniem \(y=-\frac{3}{2}x+b\).
Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze obliczenia współczynnika \(b\). W tym celu do równania \(y=-\frac{3}{2}x+b\) musimy podstawić współrzędne punktu \(P\), czyli \(x=2\) oraz \(y=-5\):
$$y=-\frac{3}{2}x+b$$
$$-5=-\frac{3}{2}\cdot2+b$$
$$-5=-3+b$$
$$b=-2$$
To oznacza, że prosta równoległa wyraża się równaniem \(y=-\frac{3}{2}x-2\).