📄 Treść zadania
Liczbą odwrotną do liczby \(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\) jest liczba:
A
\(-\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)
B
\(3\sqrt{3}+1\)
C
\(\frac{3-\sqrt{3}}{2}\)
D
\(\sqrt{3}-1\)
Krok 1. Zapisanie liczby odwrotnej.
Liczbą odwrotną otrzymamy zamieniając miejscami licznik z mianownikiem, czyli w tym przypadku byłoby to \(\frac{2}{1+\sqrt{3}}\). Takiej odpowiedzi niestety nie mamy, a to dlatego, że musimy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika.
Krok 2. Usunięcie niewymierności z mianownika
Aby usunąć niewymierność musimy pomnożyć licznik oraz mianownik przez dokładnie to samo wyrażenie co w mianowniku, tylko ze zmienionym znakiem. Pozwoli nam to na skorzystanie ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). W związku z tym:
$$\frac{2}{1+\sqrt{3}}=\frac{2\cdot(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})\cdot(1-\sqrt{3})}=\frac{2-2\sqrt{3}}{1^2-\sqrt{3}^2}=$$
$$=\frac{2-2\sqrt{3}}{1-3}=\frac{2-2\sqrt{3}}{-2}=-1+\sqrt{3}=\sqrt{3}-1$$