Zadanie 16 Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Operon 2013 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Oznaczmy sobie poszczególne długości na naszym rysunku:



Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AE\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym \(ABE\) możemy zapisać, że:
$$|BE|^2+|AE|^2=|AB|^2$$ $$3^2+|AE|^2=8^2$$ $$9+|AE|^2=64$$ $$|AE|^2=55$$ $$|AE|=\sqrt{55}$$

Krok 3. Obliczene długości \(x\).
Teraz spójrzmy na trójkąt prostokątny \(AEC\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$|AE|^2+|EC|^2=|AC|^2$$ $$(\sqrt{55})^2+x^2=(x+3)^2$$ $$55+x^2=x^2+6x+9$$ $$46=6x$$ $$x=\frac{46}{6}=\frac{23}{3}$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(AC\).
Teraz zgodnie z oznaczeniami na rysunku możemy zapisać, że:
$$|AC|=\frac{23}{3}+3$$ $$|AC|=\frac{23}{3}+\frac{9}{3}$$ $$|AC|=\frac{32}{3}$$