📄 Treść zadania
Proste \(l\) i \(k\) są prostopadłe i \(l{:}\ 2x-9y+6=0,\ k{:}\ y=ax+b\). Wówczas:
A
\(a=-\frac{2}{9}\)
B
\(a=\frac{2}{9}\)
C
\(a=-\frac{9}{2}\)
D
\(a=\frac{9}{2}\)
Aby dwie proste były prostopadłe względem siebie to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Musimy więc najpierw poznać współczynnik kierunkowy prostej \(l\), a żeby tego dokonać to musimy równanie tej prostej zapisać w postaci kierunkowej.
Krok 1. Zapisanie równania prostej \(l\) w postaci kierunkowej.
Chcemy zapisać nasze równanie w postaci typu \(y=ax+b\), zatem musimy przenieść igreki na lewą stronę, a na prawą dać całą resztę:
$$2x-9y+6=0$$
$$-9y=-2x-6 \quad\bigg/\cdot(-1)$$
$$9y=2x+6 \quad\bigg/:9$$
$$y=\frac{2}{9}x+\frac{6}{9}$$
Dzięki tej postaci wiemy już, że współczynnik kierunkowy prostej \(l\) wynosi \(a=\frac{2}{9}\).
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(k\).
Skoro iloczyn współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\), to druga prosta ma ten współczynnik równy:
$$a\cdot\frac{2}{9}=-1 \quad\bigg/\cdot\frac{9}{2}$$
$$a=-\frac{9}{2}$$