📄 Treść zadania
Tworząca stożka jest o \(2\) dłuższa od promienia podstawy. Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe \(15π\). Tworząca stożka ma zatem długość:
A
\(1\)
B
\(5\)
C
\(3\)
D
\(15\)
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń.
\(x\) - długość tworzącej stożka
\(x-2\) - długość promienia podstawy
Pole powierzchni bocznej stożka obliczymy ze wzoru:
$$P=\pi rl$$
Podstawiając nasze oznaczenia oraz dane z treści zadania otrzymamy:
$$15\pi=\pi\cdot(x-2)\cdot x$$
$$15=x^2-2x$$
$$x^2-2x-15=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=-15\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-15)=4-(-60)=4+60=64$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)-8}{2\cdot1}=\frac{2-8}{2}=\frac{-6}{2}=-3$$
$$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)+8}{2\cdot1}=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5$$
Ujemną wartość odrzucamy, bo długość nie może być ujemna, zatem zostaje nam, że długość tworzącej stożka jest równa \(x=5\).