Zadanie 22 Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Operon 2011 — zadania z rozwiązaniami

Z treści zadania można wyciągnąć informację, że obydwa trójkąty są równoramienne, a w zasadzie to muszą być i równoramienne i prostokątne, bo trapez jest prostokątny więc \(|\sphericalangle DAB|=90°\). Dzięki tej obserwacji będziemy mogli poobliczać długości poszczególnych boków stosując albo własności trójkątów o kątach \(45°, 45°, 90°\) (bo takie kąty występują zawsze w trójkątach prostokątnych równoramiennych), albo stosując Twierdzenie Pitagorasa, albo wykorzystując własności trójkątów podobnych.

Krok 1. Obliczenie długości boków \(BC\) oraz \(CD\).
Jeżeli trójkąt \(CBD\) jest równoramienny to znaczy, że \(|BD|=|BC|=\sqrt{2}\). W ten oto sposób jesteśmy w stanie obliczyć także długość boku \(|DC|\) korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=|DC|^2$$ $$2+2=|DC|^2$$ $$|DC|^2=4$$ $$|DC|=2 \quad\lor\quad |DC|=-2$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, zatem \(|DC|=2\).

Krok 2. Obliczenie długości boków \(AB\) oraz \(AD\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABD\). Odcinki \(AB\) oraz \(AD\) mają jednakową miarę. Także tutaj do ich obliczenia możemy zastosować własności trójkątów o kątach \(45°, 45°, 90°\) (wiedząc że przeciwprostokątna jest równa \(\sqrt{2}\) bez problemu możemy stwierdzić, że w takim razie przyprostokątne mają długość \(1\)), ale jeśli nie dostrzegliśmy że to jest akurat taki trójkąt o charakterystycznych kątach, to możemy ułożyć prostą proporcję, korzystając z informacji że są to trójkąty podobne:
$$\frac{|DC|}{|DB|}=\frac{|DB|}{|AD|}$$ $$\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{|AD|}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy
$$2=2|AD|$$ $$|AD|=1$$

Skoro odcinki \(AD\) oraz \(AB\) mają jednakową miarę, to możemy zapisać, że \(|AD|=1\) oraz \(|AB|=1\).

Krok 3. Obliczenie obwodu trapezu.
Znamy już wszystkie długości boków, zatem:
$$Obw=2+\sqrt{2}+1+1=4+\sqrt{2}$$