📄 Treść zadania
Kąt \(α\) jest ostry oraz \(\sinα=\frac{2}{5}\). Wówczas:
A
\(\cosα=\sinα\)
B
\(\cosα\gt\sinα\)
C
\(\cosα\lt\sinα\)
D
\(\cosα=1-\sinα\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(cosα\).
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\) w związku z tym podstawiając wartość sinusa otrzymamy:
$$sin^2α+cos^2α=1$$
$$\left(\frac{2}{5}\right)^2+cos^2α=1$$
$$\frac{4}{25}+cos^2α=1$$
$$cos^2α=\frac{21}{25}$$
$$cosα=\sqrt{\frac{21}{25}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{21}{25}}$$
Wartość ujemną cosinusa odrzucamy, bo dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie. Zostaje nam więc \(cosα=\sqrt{\frac{21}{25}}\).
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Musimy jeszcze ustalić, czy otrzymana wartość cosinusa jest większa czy mniejsza od sinusa. Wartość cosinusa możemy zapisać w ten oto sposób:
$$cosα=\sqrt{\frac{21}{25}}=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{21}}{5}$$
Teraz możemy porównać sinusa z cosinusem, bo mamy jednakowe mianowniki. \(\sqrt{21}\) jest na pewno większy niż \(2\) (będzie to coś pomiędzy \(4\) i \(5\)), zatem to cosinus jest większy. Prawidłową odpowiedzią jest więc \(\cosα\gt\sinα\).