📄 Treść zadania
Do wazonu w kształcie odwróconego stożka nalano tyle wody, aby sięgnęła do połowy jego wysokości (patrz rysunek). Jaka część objętości wazonu nie została napełniona?
A
\(\frac{1}{2}\)
B
\(\frac{5}{8}\)
C
\(\frac{3}{4}\)
D
\(\frac{7}{8}\)
Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa.
Obliczmy skalę podobieństwa tych dwóch stożków. Jeżeli duży stożek (czyli cały wazon) potraktujemy jako bryłę podstawową, a mały stożek (czyli napełnioną wodę) jako bryłę podobną, to widzimy wyraźnie że skala podobieństwa tych brył będzie równa \(k=\frac{1}{2}\), bo wysokość małego stożka jest dwukrotnie mniejsza od stożka dużego. Możemy nawet zapisać, że:
$$k=\frac{\frac{1}{2}H}{H}$$
$$k=\frac{1}{2}$$
Krok 2. Obliczenie stosunku objętości dwóch stożków.
Z własności brył podobnych wynika, że jeżeli jakaś bryła jest narysowana w skali podobieństwa równej \(k\), to jej objętość będzie \(k^3\) razy większa. W naszym przypadku \(k=\frac{1}{2}\), zatem jeżeli założymy sobie, że duży stożek ma objętość równą \(V_{1}\), to bryła podobna (czyli mały stożek) ma tę objętość równą:
$$V_{m}=V_{d}\cdot k^3$$
$$V_{m}=V_{d}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3$$
$$V_{m}=\frac{1}{8}V_{d}$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Wyszło nam, że objętość małego stożka stanowi \(\frac{1}{8}\) objętości dużego stożka. To oznacza, że woda zapełniła zaledwie \(\frac{1}{8}\) wazonu. Nas pytają się o to jaka część objętości wazonu nie jest napełniona, a będzie to oczywiście \(1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\).