📄 Treść zadania
Ostrosłupy prawidłowe trójkątne \(O_{1}\) i \(O_{2}\) mają takie same wysokości. Długość krawędzi podstawy ostrosłupa \(O_{1}\) jest trzy razy dłuższa od długości krawędzi podstawy ostrosłupa \(O_{2}\). Stosunek objętości ostrosłupa \(O_{1}\) do objętości ostrosłupa \(O_{2}\) jest równy:
A
\(3:1\)
B
\(1:3\)
C
\(9:1\)
D
\(1:9\)
Krok 1. Obliczenie pól podstaw obu ostrosłupów.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma w swojej podstawie trójkąt równoboczny. Wzór na pole takiego trójkąta to \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).
Z treści zadania wynika, że krawędź podstawy ostrosłupa \(O_{1}\) (czyli krawędź trójkąta równobocznego) ma długość \(3a\), natomiast ostrosłupa \(O_{2}\) ma długość \(a\). Skoro tak, to pola podstaw tych ostrosłupów będą równe:
$$P_{p1}=\frac{(3a)^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{4}$$
$$P_{p2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
Krok 2. Zapisanie objętości ostrosłupów.
Korzystając ze wzoru na objętość \(V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H\) możemy zapisać, że:
$$V_{1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{9a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H$$
$$V_{1}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{12}\cdot H$$
$$V_{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H$$
$$V_{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}\cdot H$$
Krok 3. Obliczenie stosunku objętości.
Interesuje nas stosunek objętości ostrosłupa \(O_{1}\) do objętości ostrosłupa \(O_{2}\). Porównując obliczone przed chwilą objętości widzimy wyraźnie, że \(V_{1}\) jest \(9\) razy większe od \(V_{2}\) (to przez tą dziewiątkę, która stoi przed \(a^2\)), stąd też stosunek objętości na pewno wynosi \(9:1\). Gdybyśmy nie byli tego pewni, to zawsze możemy rozpisać to w ten sposób:
$$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{\frac{9a^2\sqrt{3}}{12}\cdot H}{\frac{a^2\sqrt{3}}{12}\cdot H}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{12}:\frac{a^2\sqrt{3}}{12}=\frac{9a^2\sqrt{3}}{12}\cdot\frac{12}{a^2\sqrt{3}}=\frac{9}{1}$$