📄 Treść zadania
Liczba \(2log_{5}4-3log_{5}\frac{1}{2}\) jest równa:
A
\(-log_{5}\frac{7}{2}\)
B
\(7log_{5}2\)
C
\(-log_{5}2\)
D
\(log_{5}2\)
Z własności logarytmów wynika, że liczby stojące przed logarytmami możemy zamienić na potęgowanie liczb logarytmowanych, zatem:
$$2log_{5}4-3log_{5}\frac{1}{2}=log_{5}4^2-log_{5}\left(\frac{1}{2}\right)^3=log_{5}16-log_{5}\frac{1}{8}$$
Nie obliczymy oddzielnie wartości \(log_{5}16\) oraz \(log_{5}\frac{1}{8}\), ale możemy skorzystać z działań na logarytmach i rozpisać to w ten sposób:
$$log_{5}16-log_{5}\frac{1}{8}=log_{5}\left(16:\frac{1}{8}\right)=log_{5}(16\cdot8)=log_{5}128$$
Wiedząc, że \(128\) to jest \(2^7\) możemy zapisać, że:
$$log_{5}128=log_{5}2^7=7log_{5}2$$