📄 Treść zadania
Funkcja \(f\) określona dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich, przyporządkowuje liczbie \(x\) ostatnią cyfrę jej kwadratu. Zbiór wartości funkcji \(f\) zawiera dokładnie:
A
\(5\) elementów
B
\(6\) elementów
C
\(9\) elementów
D
\(10\) elementów
Musimy odpowiedzieć tak naprawdę na pytanie - jakie są ostatnie cyfry liczb, które są wynikami podniesienia liczby do kwadratu. Przykładowo:
Liczby zakończone na \(2\):
$$2^2=\color{blue}{4}$$
$$72^2=518\color{blue}{4}$$
$$82^2=672\color{blue}{4}$$
$$92^2=846\color{blue}{4}$$
Liczby zakończone na \(3\):
$$3^2=\color{blue}{9}$$
$$73^2=532\color{blue}{9}$$
$$83^2=688\color{blue}{9}$$
$$93^2=864\color{blue}{9}$$
Liczby zakończone na \(9\):
$$9^2=8\color{blue}{1}$$
$$79^2=624\color{blue}{1}$$
$$89^2=792\color{blue}{1}$$
$$99^2=980\color{blue}{1}$$
Widzimy wyraźnie, że istnieje zbieżność, między ostatnią cyfrą liczby podniesioną do kwadratu, a kwadratem tej liczby. Gdybyśmy rozpatrzyli tak wszystkie możliwe przypadki (końcówki liczb od \(0\) do \(9\)) to zauważymy, że:
Ostatnia cyfra \(0\) - Kwadrat liczby kończy się na \(0\)
Ostatnia cyfra \(1\) - Kwadrat liczby kończy się na \(1\)
Ostatnia cyfra \(2\) - Kwadrat liczby kończy się na \(4\)
Ostatnia cyfra \(3\) - Kwadrat liczby kończy się na \(9\)
Ostatnia cyfra \(4\) - Kwadrat liczby kończy się na \(6\)
Ostatnia cyfra \(5\) - Kwadrat liczby kończy się na \(5\)
Ostatnia cyfra \(6\) - Kwadrat liczby kończy się na \(6\)
Ostatnia cyfra \(7\) - Kwadrat liczby kończy się na \(9\)
Ostatnia cyfra \(8\) - Kwadrat liczby kończy się na \(4\)
Ostatnia cyfra \(9\) - Kwadrat liczby kończy się na \(1\)
Z naszych rozważań wynika, że na końcach kwadratów znaleźć się może jedna z sześciu liczb: \(0, 1, 4, 5, 6, 9\). W związku z tym zbiór wartości funkcji \(f\) składa się z \(6\) elementów.