📄 Treść zadania
Prosta \(k\) przechodzi przez punkt \(A=(2,-3)\) i jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem \(45°\) (zobacz rysunek). Prosta \(k\) ma równanie:
A
\(y=x-5\)
B
\(y=-x-1\)
C
\(y=-x+5\)
D
\(y=x+5\)
Do zadania możemy podejść na dwa sposoby:
I sposób - analizując odpowiedzi.
Widzimy, że wykres naszej funkcji jest rosnący, czyli tym samym współczynnik \(a\) musi być dodatni - taki znajduje się jedynie w odpowiedziach A oraz D. Dodatkowo wykres funkcji przecina oś \(OY\) dla ujemnych wartości igreka, a to oznacza, że współczynnik \(b\) będzie ujemny. To sprawia, że odpowiedź D musimy wykluczyć i tym samym zostaje nam odpowiedź A, czyli \(y=x-5\).
II sposób - wyznaczając wzór samodzielnie.
Wzór funkcji liniowej zapisujemy jako \(y=ax+b\). Chcąc samodzielnie wyznaczyć wzór tej funkcji (czyli poznać wartości współczynników \(a\) oraz \(b\)), musimy skorzystać z dość rzadko stosowanego wzoru, który mówi nam o tym, że współczynnik \(a=tg\alpha\), gdzie \(\alpha\) jest kątem jaki tworzą wykres funkcji z osią \(OX\). W naszym przypadku \(\alpha=45°\), zatem:
$$a=tg45°$$
Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że \(tg45°\) jest równy \(1\), zatem współczynnik \(a=1\). To oznacza, że naszą funkcję możemy zapisać jako \(y=1x+b\), czyli po prostu \(y=x+b\). Jak teraz poznać brakujący współczynnik \(b\)? Wiemy, że wykres przechodzi przez punkt o współrzędnych \((2,-3)\), zatem podstawiając \(x=2\) oraz \(y=-3\) do naszej wyznaczonej postaci \(y=x+b\), otrzymamy:
$$-3=2+b$$
$$b=-5$$
To oznacza, że nasza funkcja wyraża się wzorem \(y=x+(-5)\), czyli \(y=x-5\).