📄 Treść zadania
Wykaż, że jeżeli \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to \((a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge4\).
Skoro \(a\) oraz \(b\) są liczbami dodatnimi, to możemy być pewni że dzieląc lub mnożąc obie strony nierówności przez te niewiadome nie będziemy musieli zmieniać znaku nierówności na przeciwny. W związku z tym możemy zacząć przekształcać naszą nierówność. Najlepiej będzie zacząć od wymnożenia wartości w nawiasach:
$$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4$$
$$1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\ge4$$
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2 \quad\bigg/\cdot b$$
$$a+\frac{b^2}{a}\ge2b \quad\bigg/\cdot a$$
$$a^2+b^2\ge2ab$$
$$a^2-2ab+b^2\ge0$$
$$(a-b)^2\ge0$$
Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.