📄 Treść zadania
Rozwiąż równanie \(\frac{2x-4}{x}=\frac{x}{2x-4}\), gdzie \(x\neq0\) i \(x\neq2\).
Krok 1. Wymnożenie na krzyż poszczególnych wartości.
Rozwiązywanie równania najprościej jest chyba zacząć od mnożenia na krzyż, choć jeśli wolimy to możemy standardowo wymnożyć obie strony najpierw przez \(x\), a potem przez \(2x-4\). Finalnie dojdziemy do tego samego:
$$(2x-4)\cdot(2x-4)=x\cdot x$$
$$(2x-4)^2=x^2$$
$$4x^2-16x+16=x^2$$
$$3x^2-16x+16=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=3,\;b=-16,\;c=16\)
$$Δ=b^2-4ac=(-16)^2-4\cdot3\cdot16=256-192=64$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-16)-8}{2\cdot3}=\frac{16-8}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$$
$$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-16)+8}{2\cdot3}=\frac{16+8}{6}=\frac{24}{6}=4$$
Z racji tego, iż żadne z rozwiązań nie wyklucza się z założeniami z treści zadania, to obydwa są poprawne. To równanie ma więc dwa rozwiązania: \(x=\frac{4}{3}\) oraz \(x=4\).