Zadanie 15 Matura poprawkowa z matematyki (poziom podstawowy) - Sierpień 2014 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Wyznaczenie wzoru na \(sinα\).
Pamiętając, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\), możemy dokonać przekształcenia i spróbować wyznaczyć wzór na sinusa, który później podstawimy do jedynki trygonometrycznej.
$$3tgα=2$$ $$tgα=\frac{2}{3}$$ $$\frac{sinα}{cosα}=\frac{2}{3} \quad\bigg/\cdot cosα$$ $$sinα=\frac{2}{3}cosα$$

Krok 2. Wyznaczenie dokładnej wartości \(cosα\).
Korzystając z jedynki trygonometrycznej i podstawiając równanie wyznaczone w pierwszym kroku możemy obliczyć dokładną wartość cosinusa:
$$sin^2α+cos^2α=1$$ $$\left(\frac{2}{3}cosα\right)^2+cos^2α=1$$ $$\frac{4}{9}cos^2α+cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot9$$ $$4cos^2α+9cos^2α=9$$ $$13cos^2α=9$$ $$cos^2α=\frac{9}{13}$$ $$cosα=\sqrt{\frac{9}{13}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{9}{13}}$$ $$cosα=\frac{3}{\sqrt{13}} \quad\lor\quad cosα=-\frac{3}{\sqrt{13}}$$

Z racji tego iż kąt \(α\) jest ostry, to ujemne rozwiązanie odrzucamy. Pozostaje nam więc \(cosα=\frac{3}{\sqrt{13}}\). W tym zapisie możemy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, zatem:
$$cosα=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\cdot\sqrt{13}}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$$

Krok 3. Obliczenie wartości \(sinα\).
$$\require{cancel}
sinα=\frac{2}{3}cosα$$ $$sinα=\frac{2}{\cancel{3}}\cdot\frac{\cancel{3}\sqrt{13}}{13}$$ $$sinα=\frac{2\sqrt{13}}{13}$$

Krok 4. Obliczenie wartości wyrażenia \(sinα+cosα\).
Znając wartości sinusa i cosinusa bez problemu obliczymy poszukiwaną wartość naszego wyrażenia:
$$sinα+cosα=\frac{2\sqrt{13}}{13}+\frac{3\sqrt{13}}{13}=\frac{5\sqrt{13}}{13}$$