📄 Treść zadania
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) mamy: \(a_{2}=5\) i \(a_{4}=11\). Oblicz \(a_{5}\).
A
\(8\)
B
\(14\)
C
\(17\)
D
\(6\)
Zanim zaczniemy obliczanie, to już na samym wstępie warto zauważyć, że możemy odrzucić odpowiedzi \(A\) oraz \(D\). Dlaczego? Widać wyraźnie, że jest to ciąg arytmetyczny rosnący, więc piąty wyraz nie może być mniejszy niż czwarty. Tak prawdę mówiąc można byłoby to zadanie obliczyć nawet na logikę, bo mamy dość proste liczby, ale obliczmy to sobie wszystko dokładnie, bo nie zawsze będzie można tak łatwo dojść do rozwiązania:
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Każdy wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać jako:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
To oznacza, że:
$$a_{2}=a_{1}+(2-1)r$$
$$a_{2}=a_{1}+r$$
$$\text{oraz}$$
$$a_{4}=a_{1}+(4-1)r$$
$$a_{4}=a_{1}+3r$$
Z racji tego, że znamy wartości drugiego i czwartego wyrazu to możemy stworzyć prosty układ równań z którego wyznaczymy wartość różnicy ciągu.
\begin{cases} a_{1}+r=5 \\ a_{1}+3r=11 \end{cases}
Odejmując to równanie stronami otrzymamy:
$$-2r=-6$$
$$r=3$$
Krok 2. Obliczenie wartości piątego wyrazu tego ciągu.
Skoro czwarty wyraz ciągu jest równy \(11\), a każdy kolejny jest o \(3\) większy (bo \(r=3\)), to piąty wyraz tego ciągu będzie równy \(11+3=14\).