📄 Treść zadania
Dana jest liczba \(x=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2\), gdzie \(a\) należy do zbioru \(\mathbb{R}\) liczb rzeczywistych. W rozwiązaniu zadania uwzględnij fakt, że liczby \(\sqrt{3}\) oraz \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\) są niewymierne. Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie zdania było prawdziwe. Liczba \(x\) jest wymierna dla:
A. \(a=5\)
B. \(a=-\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
C. \(a=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+0,3\)
D. \(a=6\)
E. \(a=-2\sqrt{6}+12,5\)
F. \(a=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-2\sqrt{6}\)
G. \(a=-\sqrt{6}\)
Krok 1. Obliczenie wartości liczby \(x\).
Spróbujmy obliczyć wartość liczby \(x\) wykonując występujące w niej potęgowanie. Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy zapisać, że:
$$x=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 \ ,\
x=a-(\sqrt{3})^2-2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2 \ ,\
x=a-(3-2\sqrt{6}+2) \ ,\
x=a-(5-2\sqrt{6}) \ ,\
x=a-5+2\sqrt{6}$$
Krok 2. Ustalenie, kiedy liczba \(x\) jest wymierna.
Musimy się teraz zastanowić, kiedy \(a-5+2\sqrt{6}\) da wynik wymierny. Aby tak się stało, to w wartości liczby \(a\) musi się pojawić \(-2\sqrt{6}\) (wtedy te pierwiastki się "zniosą") i w zapisie tej liczby nie mogą nam oczywiście pojawić się inne nowe pierwiastki.
Od razu możemy stwierdzić, że poprawna jest odpowiedź E, czyli \(a=-2\sqrt{6}+12,5\), bowiem to jest dokładnie to, czego szukamy. Musimy jeszcze wybrać drugą odpowiedź. Na pewno nie będzie to A, B, D oraz G (bo brakuje tu wartości \(-2\sqrt{6}\)). Do rozpatrzenia zostaje nam C oraz F. Rozpiszmy sobie każdy z tych wariantów:
Odp. C. \((\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+0,3=2-2\sqrt{6}+3+0,3=5,3-2\sqrt{6}\)
Ta odpowiedź nam pasuje.
Odp. F. \((\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-2\sqrt{6}=2-2\sqrt{6}+3-2\sqrt{6}=5-4\sqrt{6}\)
Ta odpowiedź nam nie pasuje, bo jest tutaj \(-4\sqrt{6}\).
Podsumowując, pasującymi odpowiedziami będą C oraz E.