Krok 1. Obliczenie maksymalnej długości boku kwadratu (licząc kwadraty na krótszym boku).
Z rysunku wynika, że wzdłuż boku kartki o długości \(15cm\) Agata zmieściła \(3\) kwadraty. Sprawdźmy zatem jaka może być maksymalna długość przekątnej takiego kwadratu (analizujemy przekątną, bo jest ona równoległa do boku kartki):
$$15cm:3=5cm$$

Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Ta zależność pozwoli nam obliczyć długość boku kwadratu, przyjmując przybliżenie \(\sqrt{2}\approx1,4\):
$$a\sqrt{2}=5cm \           ,\
1,4a\approx5cm \           ,\
a\approx3,57cm$$

Z treści zadania wynika, że długość boku kwadratu musi wyrażać się całkowitą liczbą centymetrów, zatem największy możliwy kwadrat jaki zmieści się wzdłuż krótszej krawędzi kartki może mieć bok o długości \(3cm\).

Krok 2. Obliczenie maksymalnej długości boku kwadratu (licząc kwadraty na dłuższym boku).
To jednak nie koniec zadania, bo choć owszem wzdłuż krótszej krawędzi zmieszczą się trzy kwadraty o boku długości \(3cm\), to nie mamy jeszcze pewności, czy z takimi wymiarami zmieszczą się cztery kwadraty wzdłuż dłuższej krawędzi kartki. Musimy zatem wykonać podobne obliczenia dla dłuższego boku kartki.

Z rysunku wynika, że wzdłuż dłuższego boku kartki o długości \(18cm\) Agata zmieściła \(4\) kwadraty, zatem maksymalna długość przekątnej takiego kwadratu wynosi:
$$18cm:4=4,5cm$$

I tu ponownie korzystając z własności przekątnych obliczymy, że bok kwadratu może mieć długość:
$$a\sqrt{2}=4,5cm \           ,\
1,4a\approx4,5cm \           ,\
a\approx3,21cm$$

Zgodnie z treścią zadania bok kwadratu ma mieć całkowitą liczbę centymetrów, czyli wzdłuż dłuższego boku kartki także zmieści się nam kwadrat o boku długości \(3cm\).

To oznacza, że maksymalna długość boku kwadratu wynosi \(3cm\).