Zadanie 22 Egzamin gimnazjalny 2019 - matematyka — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń i zbudowanie układu równań.
Wprowadźmy sobie następujące oznaczenia:
\(x\) - liczba uczniów w klasie IIIa
\(y\) - liczba uczniów w klasie IIIb

Z treści zadania wynika, że suma uczniów klasy IIIa oraz \(\frac{1}{3}\) uczniów klasy IIIb daje łącznie \(33\) osoby. Korzystając z naszych oznaczeń możemy zapisać, że w takim razie:
$$x+\frac{1}{3}y=33$$

Wiemy też, że suma wszystkich uczniów klasy IIIb wraz z \(\frac{1}{4}\) uczniów klasy IIIa daje łącznie także \(33\) osoby. Możemy więc zapisać, że:
$$y+\frac{1}{4}x=33$$

Z tych dwóch równań możemy zbudować układ równań:
\begin{cases} x+\frac{1}{3}y=33 \\ y+\frac{1}{4}x=33 \end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Powstały układ równań można rozwiązać na wiele sposobów. Najprościej będzie chyba pomnożyć pierwsze równanie przez \(3\) (tak aby pozbyć się ułamka przy igreku). Wtedy też wyznaczając igreka z drugiego równania będziemy mogli skorzystać z tak zwanej metody podstawiania. W związku z tym:
\begin{cases} x+\frac{1}{3}y=33 \quad\bigg/\cdot3 \\ y+\frac{1}{4}x=33 \end{cases}

\begin{cases} 3x+y=99 \quad\bigg/\cdot3 \\ y=33-\frac{1}{4}x \end{cases}

Podstawiając igreka z drugiego równania do pierwszego otrzymujemy:
$$3x+33-\frac{1}{4}x=99$$ $$2\frac{3}{4}x=66$$ $$\frac{11}{4}x=66 \quad\bigg/\cdot4$$ $$11x=264$$ $$x=24$$

Znając wartość iksa możemy podstawić tę liczbę do dowolnego z początkowych równań, wyznaczając tym samym wartość igreka, zatem:
$$x+\frac{1}{3}y=33$$ $$24+\frac{1}{3}y=33$$ $$\frac{1}{3}y=9$$ $$y=27$$

Zgodnie z naszymi oznaczeniami wyszło nam, że w klasie IIIa jest \(24\) uczniów, natomiast w klasie IIIb jest \(27\) uczniów.

Odpowiedź: W klasie IIIa jest \(24\) uczniów, a w klasie IIIb jest \(27\) uczniów.