Zadanie 17 Egzamin gimnazjalny 2016 - matematyka — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Obliczenie pola kwadratu \(ABCD\).
Jeżeli założymy, że kwadrat ma bok o długości \(a\), to pole kwadratu będzie równe:
$$P_{ABCD}=a^2$$

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(FEC\).
Skoro bok kwadratu ma długość \(a\), to odcinki \(FC\) oraz \(CE\) mają długość \(\frac{1}{2}a\), bo są to połowy poszczególnych boków kwadratu. Podstawiając te dane do klasycznego wzoru na pole trójkąta otrzymamy:
$$P_{FEC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\cdot\frac{1}{2}a$$ $$P_{FEC}=\frac{1}{8}a^2$$

Krok 3. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Porównując te dwa wyniki otrzymane w pierwszym i drugim kroku widzimy, że nasz trójkąt \(FEC\) faktycznie stanowi \(\frac{1}{8}\) pola kwadratu \(ABCD\), czyli pierwsze zdanie jest prawdą.

Krok 4. Obliczenie pola czworokąta \(DBEF\) i ocena prawdziwości drugiego zdania.
Pole tego czworokąta policzymy nieco sprytniej. Nasz czworokąt \(DBEF\) jest tak naprawdę wynikiem odjęcia od pola dużego trójkąta \(DBC\) pola małego trójkąta \(FEC\). Możemy więc matematycznie zapisać, że:
$$P_{DBEF}=P_{DBC}-P_{FEC}$$

Pole trójkąta \(DBC\) jest równe połowie pola kwadratu, a pole trójkąta \(FEC\) obliczyliśmy w poprzednim kroku, zatem:
$$P_{DBEF}=\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{8}a^2$$ $$P_{DBEF}=\frac{4}{8}a^2-\frac{1}{8}a^2$$ $$P_{DBEF}=\frac{3}{8}a^2$$

W związku z tym drugie zdanie jest także prawdą, bo faktycznie pole czworokąta \(DBEF\) stanowi \(\frac{3}{8}\) pola kwadratu \(ABCD\).