📄 Treść zadania
Dane są liczby:
I. \(25^{41}\)
II. \(125^{41}\)
III. \(2^{862}\)
IV. \(5^{431}\)
Która z tych liczb jest największa?
Aby ustalić która z liczb jest największa musimy sprowadzić liczby albo do wspólnego wykładnika potęgi, albo wspólnej podstawy potęgi. Generalnie wszystkie liczby poza trzecią możemy sprowadzić do podstawy równej \(5\). Trzecią liczbę możemy natomiast porównać z czwartą, sprowadzając je do wspólnego wykładniki potęgi.
Krok 1. Porównanie trzeciej i czwartej liczby.
Trzecia liczba jest równa:
$$2^{862}=4^{431}$$
To oznacza, że czwarta liczba, czyli \(5^{431}\), jest na pewno większa od liczby trzeciej. Wiemy to, bo udało nam się sprowadzić obydwie te liczby do wspólnego wykładnika potęgi równego \(431\), więc większa będzie ta liczba, która ma większą podstawę potęgi.
Krok 2. Porównanie pierwsze, drugiej i czwartej liczby.
Wiemy już, że druga liczba na pewno nie jest największa. Pozostałe trzy liczby możemy sprowadzić do wspólnej podstawy potęgi:
$$25^{41}=5^{82}$$
$$125^{41}=5^{123}$$
$$5^{431}$$
Widzimy więc wyraźnie, że zdecydowanie największa będzie liczba \(5^{431}\), bo przy wspólnej podstawie ma ona największy wykładnik potęgi.