Klasa 7 SP › Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach
Działania na potęgach o tej samej podstawie
Teoria i zastosowanie
Co robi: upraszcza wyrażenia z potęgami bez rozpisywania ich na iloczyny.
Elementy: $a$ — podstawa potęgi, $m, n$ — wykładniki. Przy mnożeniu wykładniki dodajemy, przy dzieleniu odejmujemy, przy potędze potęgi mnożymy.
Przykład: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$; $\frac{5^6}{5^4} = 5^2 = 25$; $(3^2)^3 = 3^6 = 729$.
Pułapka: te wzory działają tylko przy identycznej podstawie. $2^3 \cdot 3^2$ nie upraszcza się do jednej potęgi. Uwaga też: $a^m + a^n \ne a^{m+n}$ — dodawanie potęg nie ma takiego wzoru.
Reguły działań na potęgach
Teoria i zastosowanie
Co robi: pozwala upraszczać wyrażenia z potęgami bez wyliczania wielkich liczb.
Elementy: $a$, $b$ to podstawy, $m$, $n$ — wykładniki. Wzór $a^0=1$ obowiązuje dla $a\neq0$.
Kluczowy warunek: dwie pierwsze reguły działają wyłącznie dla tej samej podstawy. Podstawa nigdy się nie zmienia: $2^3\cdot2^4=2^7$, a nie $4^7$.
Przykład złożony: $\frac{9^3\cdot3^2}{27^2}=\frac{3^6\cdot3^2}{3^6}=3^2=9$ — najpierw sprowadzamy wszystko do wspólnej podstawy.
Skąd $a^0=1$: z reguły dzielenia $\frac{a^n}{a^n}=a^0$, a liczba podzielona przez samą siebie daje $1$.
Pułapka: przy iloczynie wykładniki się dodają, przy potędze potęgi mnożą. Zapisy $2^3\cdot2^2=32$ i $\left(2^3\right)^2=64$ wyglądają podobnie, a dają różne wyniki. Uważaj też na nawias: $-3^4=-81$, ale $(-3)^4=81$.