Baza wzorów matematyki i fizyki

Pionowa: $x=a$ gdy $\lim_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty$ (punkt wyłączony z dziedziny). Pozioma: $y=L$ gdy $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$. Ukośna: $y=ax+b$ gdy $a=\lim\frac{f(x)}{x}$, $b=\lim(f(x)-ax)$. Hiperbola $\frac{1}{x}$: asymptoty $x=0$ i $y=0$.

Całka nieoznaczona to rodzina wszystkich funkcji pierwotnych $F(x)$ różniących się o stałą $C$. Całkowanie jest odwrotne do różniczkowania. Liniowość: $\int[af(x)+bg(x)]dx=a\int f\,dx+b\int g\,dx$.

$F$ — dowolna funkcja pierwotna $f$. Całka oznaczona oblicza pole algebraiczne między wykresem $f$ a osią $OX$ na przedziale $[a,b]$ (z uwzględnieniem znaku). Własności: $\int_a^b=-\int_b^a$, $\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b$ dla dowolnego $c$.

Twierdzenie Fubiniego: dla ciągłej $f$ na obszarze $D$ można zamieniać kolejność całkowania. Granice wewnętrznej całki mogą zależeć od zmiennej zewnętrznej. Zmiana kolejności często upraszcza obliczenia (gdy jedna kolejność daje całkę niemożliwą analitycznie). Pole obszaru: $\iint_D1\,dA$; objętość bryły pod $z=f(x,y)$: $\iint_D f\,dA$.

Gdy $\deg P < \deg Q$: rozkładamy na ułamki proste wg. pierwiastków $Q(x)$. Rzeczywisty pierwiastek $a$ rzędu $k$: człony $A_1/(x-a)+\ldots+A_k/(x-a)^k$. Trójmian nierozkładalny: $(Bx+C)/(x^2+px+q)$. Całkujemy każdy człon: $\int dx/(x-a)=\ln|x-a|$; dla trójmianu — uzupełniamy do kwadratu i używamy $\arctan$.

Aproksymacja parabolami (wielomiany st. 2) na parach podprzedziałów; $n$ musi być parzyste. Błąd: $O(h^4)$ — przy podwojeniu $n$ błąd maleje 16-krotnie. Dokładna dla wielomianów stopnia $\le3$. Zastosowanie: numeryczna integracja w fizyce, inżynierii i finansach. Reguła 3/8 Simpsona: $\frac{3h}{8}[f_0+3f_1+3f_2+2f_3+\ldots]$.

Przybliżamy funkcję na każdym podprzedziale trapezem. Błąd złożony: $O(h^2)$ — przy podwojeniu $n$ błąd maleje czterokrotnie. Wzór prosty (n=1): $\frac{h}{2}(f(a)+f(b))$. Porównanie z Simpsonem: metoda trapezów mniej dokładna, ale prostsza. Stosowana gdy brak wzoru analitycznego lub dane dyskretne.

Metoda per partes: wybieramy $u$ i $dv$ tak, by $\int v\,du$ była prostsza. Reguła LIATE (kolejność wyboru $u$): Logarytmy, odwrotne trygonometryczne, Algebraiczne (wielomiany), Trygonometryczne, Eksponencjalne. Przykład: $\int x e^x dx=xe^x-e^x+C$.

Metoda substytucji: zamieniamy zmienną $t=g(x)$, wtedy $dt=g'(x)dx$. Przykład: $\int 2x e^{x^2}dx=\int e^t\,dt=e^t+C=e^{x^2}+C$. Wymaga rozpoznania pochodnej funkcji złożonej wewnątrz całki.

Funkcja jest ciągła gdy: 1) jest określona w $a$; 2) istnieje granica w $a$; 3) granica = wartość funkcji. Ciągłość na przedziale: ciągłość w każdym punkcie. Twierdzenie Weierstrassa: funkcja ciągła na domkniętym przedziale osiąga swoje kresy (min i max). Twierdzenie Darboux: przyjmuje każdą wartość pośrednią.

Do czego służy: Logarytm to „odwrócona potęga" — pyta: do jakiej potęgi podnieść podstawę $a$, żeby dostać $b$?

Zmienne i warunki

• $a$ — podstawa: $a > 0$, $a \neq 1$
• $b$ — argument: $b > 0$ (logarytm liczby ujemnej lub zera nie istnieje!)
• $c$ — wartość logarytmu (może być ujemna lub ułamkowa)

Szczególne przypadki

• $\log_a a = 1$ (bo $a^1=a$)
• $\log_a 1 = 0$ (bo $a^0=1$)
• $\log_{10} x = \lg x$ — logarytm dziesiętny (kalkulator: przycisk LOG)
• $\log_e x = \ln x$ — logarytm naturalny, $e\approx 2{,}718$ (kalkulator: LN)

Kiedy używać?

Gdy szukasz wykładnika: w równaniach wykładniczych ($3^x = 27$), obliczaniu pH, skali Richtera, decybelach.

Jak stosować

1. Zidentyfikuj podstawę $a$ i argument $b$
2. Zapytaj: $a^? = b$
3. Odpowiedź na to pytanie to wartość logarytmu

Przykład

Oblicz $\log_3 81$.

1. Pytanie: $3^? = 81$
2. $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$ ✓
3. Odpowiedź: $\log_3 81 = 4$

⚠️ Częsty błąd: Argument logarytmu musi być dodatni. $\log(-5)$ nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych!

Kąt $\alpha$ wyrażony w radianach. Przelicznik: $\alpha_\text{rad}=\alpha_{°}\cdot\frac{\pi}{180}$. Dla pełnego okręgu ($\alpha=2\pi$): $l=2\pi r$, $P=\pi r^2$. Pole wycinka można też liczyć ze wzoru $P=\frac{\alpha_{°}}{360°}\cdot\pi r^2$.

Długość wykresu $y=f(x)$ na przedziale $[a,b]$. Postać parametryczna: $L=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{[\dot{x}(t)]^2+[\dot{y}(t)]^2}\,dt$. Postać biegunowa: $L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2+\dot{r}^2}\,d\theta$. Przykład: obwód koła ($r=R$, $\theta\in[0,2\pi]$): $L=2\pi R$.

Długość łuku krzywej $(x(t),y(t))$: pierwiastek z sumy kwadratów pochodnych, całkowany po parametrze. Szczególny przypadek $t=x$: wzór z $f'(x)$. W układzie biegunowym $(r(\varphi))$: $L=\int\sqrt{r^2+(r')^2}\,d\varphi$. Przykłady: okrąg $\Rightarrow 2\pi r$; parabola $y=x^2$ na $[0,1]\Rightarrow\frac{1}{4}[\sqrt{5}+\ln(2+\sqrt{5})]$.

Jeśli $f'(x_0)=0$ i $f''(x_0)\ne0$: $f''<0$ — maksimum lokalne, $f''> 0$ — minimum. Dla $f''(x_0)=0$ kryterium nie rozstrzyga — wróć do analizy znaku $f'$. Szybsze niż analiza znaków pierwszej pochodnej, gdy łatwo obliczyć $f''$.

W punkcie krytycznym ($f_x=f_y=0$) obliczamy hesjan $H=\det\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\f_{xy}&f_{yy}\end{pmatrix}$. $H>0$: ekstremum (min gdy $f_{xx}>0$, max gdy $f_{xx}<0$). $H<0$: punkt siodłowy. $H=0$: kryterium nie rozstrzyga. Analogia 1D: drugie kryterium z $f''$.

Do czego służy: Trzy różne zapisy tej samej paraboli — każdy daje inne informacje o jej kształcie i położeniu.

Trzy postaci i co z nich odczytasz

• Ogólna $ax^2+bx+c$: podana najczęściej w zadaniach; $a$ decyduje o kierunku ramion
• Kanoniczna $a(x-p)^2+q$: od razu widać wierzchołek $W=(p,q)$
• Iloczynowa $a(x-x_1)(x-x_2)$: od razu widać miejsca zerowe (gdy $\Delta\geq0$)

Wzory pomocnicze

• Wierzchołek: $p = -\frac{b}{2a}$, \quad $q = f(p) = -\frac{\Delta}{4a}$
• Oś symetrii: prosta $x = p$
• Ramiona w górę gdy $a>0$ (minimum w $W$), w dół gdy $a<0$ (maksimum)

Jak zamieniać postaci

1. Ogólna → kanoniczna: oblicz $p=-b/(2a)$, $q=f(p)$, podstaw
2. Ogólna → iloczynowa: oblicz $\Delta$, znajdź $x_1, x_2$, podstaw

Przykład

Znajdź wierzchołek paraboli $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

1. $p = -(-4)/(2\cdot1) = 2$
2. $q = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$
3. Wierzchołek: $W=(2,-1)$
4. Postać kanoniczna: $f(x)=(x-2)^2-1$

⚠️ Częsty błąd: W postaci kanonicznej $a(x-p)^2+q$ — uwaga na znak! $a(x-2)^2+q$ oznacza wierzchołek $x=+2$, nie $-2$.

Do czego służy: Opisuje zależności, w których wzrost/spadek jest jednostajny — wykresem jest linia prosta.

Zmienne

• $a$ — współczynnik kierunkowy (nachylenie prostej): $a>0$ → rosnąca, $a<0$ → malejąca, $a=0$ → stała (pozioma)
• $b$ — wyraz wolny: gdzie prosta przecina oś OY (dla $x=0$: $f(0)=b$)

Kluczowe wzory pochodne

• Miejsce zerowe (gdzie prosta przecina OX): $x_0 = -\frac{b}{a}$ (dla $a\neq 0$)
• Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów: $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
• Dwie proste równoległe gdy $a_1 = a_2$; prostopadłe gdy $a_1 \cdot a_2 = -1$

Jak wyznaczyć wzór funkcji z dwóch punktów

1. Oblicz $a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
2. Wstaw jeden punkt do $y = ax + b$ i oblicz $b$

Przykład

Prosta przechodzi przez $A(1,3)$ i $B(3,7)$. Znajdź wzór.

1. $a = \frac{7-3}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$
2. $3 = 2\cdot 1 + b \Rightarrow b = 1$
3. Wzór: $f(x) = 2x + 1$

⚠️ Częsty błąd: Mylenie $a$ (nachylenie) z $b$ (punkt przecięcia OY). Parametr $b$ odczytujesz z wykresu jako punkt na osi pionowej, nie poziomej!

Do czego służy: Odwrotność funkcji wykładniczej — „odczytuje wykładnik". Stosowana w skali decybelowej, pH, skali Richtera.

Właściwości

• Dziedzina: $(0,+\infty)$ — argument musi być dodatni
• Zawsze przechodzi przez $(1,0)$: $\log_a 1=0$
• $a>1$: rosnąca; $0<a<1$: malejąca
• Asymptota pionowa: $x=0$ (oś OY)
• Zbiór wartości: $\mathbb{R}$ (wszystkie liczby rzeczywiste)

Związek z funkcją wykładniczą

Są wzajemnie odwrotne: $\log_a(a^x)=x$ oraz $a^{\log_a x}=x$. Ich wykresy są symetryczne względem prostej $y=x$.

Jak rozwiązywać równania logarytmiczne

1. Sprawdź dziedzinę: argument logarytmu musi być $>0$
2. Użyj definicji: $\log_a b = c \Leftrightarrow b = a^c$
3. Sprawdź czy rozwiązanie należy do dziedziny!

Przykład

Rozwiąż $\log_2(x-1) = 3$.

1. Dziedzina: $x-1>0 \Rightarrow x>1$
2. Z definicji: $x-1 = 2^3 = 8$
3. $x = 9$ ✓ (spełnia $x>1$)

⚠️ Częsty błąd: Pominięcie sprawdzenia dziedziny na końcu! Pozorne rozwiązanie może dać ujemny argument logarytmu.

Funkcja odwrotna istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy $f$ jest różnowartościowa. Wykres $f^{-1}$ jest obrazem wykresu $f$ w symetrii względem prostej $y=x$. $(f^{-1}\circ f)(x)=x$. Przykłady: $\ln x$ jest odwrotną do $e^x$, $\arcsin x$ do $\sin x$ (na ograniczonej dziedzinie).

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi $OY$. Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu. Przykłady parzyste: $\cos x$, $x^2$, $|x|$. Przykłady nieparzyste: $\sin x$, $x^3$, $\tan x$. Funkcja $f(x)=0$ jest jednocześnie parzysta i nieparzysta.

Jeśli $F(x,y)=0$ i $F_y\ne0$ w otoczeniu punktu, to definiuje $y$ jako funkcję $x$ (twierdzenie o funkcji uwikłanej). Pochodna: $dy/dx=-F_x/F_y$. Przykład: okrąg $x^2+y^2=r^2$: $F_x=2x$, $F_y=2y$, $dy/dx=-x/y$. Uogólnienie na $F(x,y,z)=0$: $\partial z/\partial x=-F_x/F_z$. Zastosowanie: styczne do krzywych, optymalizacja z warunkami.

Do czego służy: Modeluje procesy szybkiego wzrostu (populacje, procent składany, zaraza) lub zaniku (rozpad promieniotwórczy, schładzanie).

Zmienne i warunki

• $a$ — podstawa: musi być $a>0$, $a\neq1$
• $x$ — wykładnik (argument): może być dowolną liczbą rzeczywistą

Właściwości — jak czytać wykres

• Zawsze przechodzi przez $(0,1)$: $a^0=1$
• $a>1$: rosnąca (im większa $a$, tym szybszy wzrost)
• $0<a<1$: malejąca (zanik); np. $(1/2)^x$ to rozpad
• Nigdy nie osiąga 0 — asymptota pozioma: $y=0$
• Dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste; zbiór wartości: $(0,+\infty)$

Ogólny wzór wzrostu/zaniku

$N(t) = N_0 \cdot a^t$, gdzie $N_0$ — wartość początkowa, $t$ — czas.

Przykład

Bakterie podwajają się co godzinę. Ile ich będzie po 5 h, jeśli na początku jest 100?

1. Model: $N(t) = 100 \cdot 2^t$
2. $N(5) = 100 \cdot 2^5 = 100 \cdot 32 = 3200$

⚠️ Częsty błąd: $2^{-3} = \frac{1}{8}$, nie $-8$! Ujemny wykładnik daje ułamek, nigdy liczbę ujemną.

Hiperbola o środku w początku układu i asymptotach na osiach. Dla $k>0$ — ramiona w I i III ćwiartce; dla $k<0$ — w II i IV. Ogólna hiperbola: $y=\frac{k}{x-p}+q$ — asymptoty $x=p$, $y=q$. Funkcja malejąca na każdej gałęzi.

Gradient $\nabla f$ wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji; jego moduł to tempo wzrostu. Pochodna kierunkowa $D_{\hat u}f$: przyrost funkcji wzdłuż jednostkowego wektora $\hat u$. Maksymalna, gdy $\hat u\parallel\nabla f$ ($\theta=0$). Gradient prostopadły do linii poziomu $f=c$. Zastosowanie: metoda gradientu prostego (optymalizacja numeryczna).

Objętość graniastosłupa pochyłego: $V=P_\perp\cdot l$ (przekrój prostopadły × długość krawędzi bocznej) lub $V=P_\text{podst}\cdot h$ (pole podstawy × wysokość). Dla prostego: $P_\perp=P_\text{podst}$. Analogia: walec pochyły — $V=\pi r^2 h$ (bez względu na pochylenie). Pole boczne: $S_\text{boczna}=P_\text{podst,trapezu}\cdot l$ (obwód podstawy × krawędź boczna nie działa dla pochyłego — tylko $P_\perp\cdot$ obwód $P_\perp$).

Ciąg $(a_n)$ ma granicę $g$, gdy od pewnego miejsca $N$ wszystkie wyrazy leżą w dowolnie małym otoczeniu $g$. Twierdzenia: granica sumy/iloczynu = suma/iloczyn granic. Ciąg zbieżny jest ograniczony (ale nie odwrotnie).

Heine: granica $f$ w punkcie $a$ wynosi $L$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu $x_n\to a$ (z $x_n\ne a$) mamy $f(x_n)\to L$. Zastosowanie: wykazywanie braku granicy — wystarczy znaleźć dwa ciągi dające różne limesy.

Granica prawostronna ($x\to a^+$): $x$ zbliża się do $a$ z prawej. Lewostronna ($x\to a^-$): z lewej. Granica (właściwa) istnieje $\Leftrightarrow$ obie granice jednostronne są równe: $L^+=L^-$. Stosowane dla funkcji z definicją na przedziałach (np. $|x|/x$) oraz przy badaniu ciągłości.

Podstawowe granice stosowane przy wyznaczaniu granic funkcji trygonometrycznych. Konsekwencje: $\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$, $\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}=1$. Wymagane przy obliczaniu pochodnej sinusa z definicji.

Iloczyn skalarny (dot product) to liczba rzeczywista. Wektory prostopadłe: $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$. Kąt między wektorami: $\cos\alpha=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$. W 3D: $\vec{u}\cdot\vec{v}=u_x v_x+u_y v_y+u_z v_z$. Rzut $\vec{u}$ na $\vec{v}$: $\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}$.

Wynik jest wektorem prostopadłym do obu czynników (reguła prawej ręki). Moduł = pole równoległoboku rozpiętego przez $\vec{u}$ i $\vec{v}$. Własności: antyprzemienność $\vec{u}\times\vec{v}=-\vec{v}\times\vec{u}$, $\vec{u}\times\vec{u}=\vec{0}$. Stosowany do wyznaczania normalnej do płaszczyzny.

Do czego służy: Gdy znasz sinus — wyznaczasz cosinus (i odwrotnie). Najważniejsza tożsamość trygonometryczna, fundament obliczeń.

Skąd pochodzi?

Bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa: $a^2+b^2=c^2$, dzielone przez $c^2$ daje $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

Wzory pochodne

• $\sin^2\alpha = 1-\cos^2\alpha$ i $\cos^2\alpha = 1-\sin^2\alpha$
• Dziel przez $\cos^2\alpha$: $\tan^2\alpha+1 = \frac{1}{\cos^2\alpha}$
• Dziel przez $\sin^2\alpha$: $1+\cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

Jak stosować — krok po kroku

1. Masz $\sin\alpha$ → $\cos^2\alpha = 1-\sin^2\alpha$ → $|\cos\alpha|=\sqrt{1-\sin^2\alpha}$
2. Ustal znak: I ćwiartka: oba dodatnie; II: sin+, cos−; III: oba−; IV: sin−, cos+

Przykład

Kąt $\alpha$ jest rozwarty ($90°<\alpha<180°$). $\sin\alpha=\frac{3}{5}$. Oblicz $\cos\alpha$.

1. $\cos^2\alpha = 1-\frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
2. Kąt rozwarty → II ćwiartka → cosinus ujemny: $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$

⚠️ Częsty błąd: Zawsze wybierz właściwy znak! Sama jedynka daje $\pm$, a ćwiartka kąta decyduje o znaku.

Kąt między płaszczyznami: mierzony między ich wektorami normalnymi $\vec{n_1}$, $\vec{n_2}$ (lub dopełnienie do $90°$). Kąt między prostą (kierunek $\vec{d}$) a płaszczyzną: $\varphi=90°$ minus kąt między prostą a normalną. Wyznaczamy przez rzutowanie prostej na płaszczyznę.

$m_1$, $m_2$ — współczynniki kierunkowe prostych. Proste prostopadłe: $m_1\cdot m_2=-1$ (lub jedna jest pionowa). Proste równoległe: $m_1=m_2$. Wzór nie działa dla prostych pionowych ($m\to\infty$) — wtedy kąt między nimi wynosi $0°$ lub $90°$.

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest dwukrotnie większy od kąta wpisanego. Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe. Kąt wpisany w półokrąg (oparty na średnicy) jest prosty — twierdzenie Talesa o okręgu.

Do czego służy: Liczenie ile sposobów można wybrać $k$ elementów z $n$, gdy kolejność NIE MA znaczenia.

Kiedy kombinacje, kiedy co innego?

• Kombinacje $\binom{n}{k}$: kolejność nieważna → wybierasz grupę (drużyna, zestaw kart)
• Permutacje $P_n=n!$: kolejność ważna → ustawiasz wszystkie elementy
• Wariacje $V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$: kolejność ważna → wybierasz $k$ z $n$

Własności

• $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$; \quad $\binom{n}{1}=n$
• $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ (symetria — wybieranie 3 z 10 = zostawianie 7 z 10)

Przykład

Ile 5-elementowych zestawów można wybrać z 49 liczb (lotto)?

1. $\binom{49}{5}=\frac{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45}{5!}=\frac{228\,614\,040}{120}=1\,906\,884$

⚠️ Częsty błąd: „Wybieramy grupę/komitet/zestaw" → kombinacje. „Ustawiamy w kolejności/kolejka/kod PIN" → wariacje lub permutacje.

Kowariancja mierzy kierunek liniowego związku. $\text{Cov}(X,X)=\text{Var}(X)$. Macierz kowariancji $\Sigma$: symetryczna, dodatnio półokreślona; $\Sigma_{ij}=\text{Cov}(X_i,X_j)$. Macierz korelacji: $\rho_{ij}=\Sigma_{ij}/(\sigma_i\sigma_j)$. Zastosowanie: analiza głównych składowych (PCA), portfele Markowitza, regresja wieloraka.

Dla $f$ nieujemnej i nierosnącej: szereg i całka zbiegają lub rozbiegają jednocześnie. Przykłady: $\sum 1/n$ — $\int_1^\infty dx/x=\infty$ — rozbieżny (szereg harmoniczny). $\sum 1/n^2$ — $\int_1^\infty dx/x^2=1$ — zbieżny. Ogólnie: $\sum 1/n^p$ zbiega $\Leftrightarrow p>1$. Kryterium nie daje wartości sumy, tylko informację o zbieżności.

Dla $L=1$ kryterium nie rozstrzyga — trzeba użyć innej metody. Stosowane dla szeregów z silniami i potęgami: $\sum\frac{x^n}{n!}$, $\sum n^k q^n$. Kryterium Cauchy'ego (pierwiastkowe): $\lim\sqrt[n]{|a_n|}<1\Rightarrow$ zbieżny.

Kryterium graniczne: jeśli $\lim a_n/b_n=L\in(0,\infty)$, to oba szeregi zachowują się tak samo (oba zbieżne lub oba rozbieżne). Strategia: dla $\sum a_n$ szukamy prostszego $\sum b_n$ o znanych własnościach (geometryczny, $\sum 1/n^p$). Przykład: $\sum 1/(n^2+1)$ — porównanie z $\sum 1/n^2$, iloraz $\to 1$ — zbieżny.

Nachylenie stycznej: $dy/dx=\dot y/\dot x$. Krzywizna $\kappa=1/R$ (odwrotność promienia krzywizny). Prędkość chwilowa $v=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}$. Przykład: okrąg $(r\cos t,r\sin t)$: $\kappa=1/r$ (stała). Dla wykresu $y=f(x)$: $\kappa=|f''|/(1+f'^2)^{3/2}$. Punkt przegięcia: $\kappa=0$ lub $\kappa$ zmienia znak.

Liczba $e$ jest podstawą logarytmu naturalnego i funkcji $e^x$. Jedyna funkcja będąca swoją własną pochodną: $\frac{d}{dx}e^x=e^x$. Tożsamość Eulera: $e^{i\pi}+1=0$. $\ln e=1$. Ważny limit: $\lim_{n\to\infty}\!\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x$.

Linia środkowa trójkąta łączy środki dwóch boków; jest równoległa do podstawy i stanowi jej połowę. Linia środkowa trapezu łączy środki ramion; jest równoległa do podstaw i równa ich średniej arytmetycznej $\frac{a+b}{2}$.

Mediana: wartość środkowa po posortowaniu. Dla parzystego $n$: średnia dwóch środkowych. Odporna na wartości odstające (outliers), lepiej niż średnia opisuje asymetryczne dane. Dominanta (moda): wartość najczęściej występująca. Relacja: skośność prawostronna $\Rightarrow$ $Mo<Me<\bar{x}$.

Do czego służy: Badanie gdzie funkcja rośnie/maleje i gdzie ma ekstrema lokalne (minimum, maksimum).

Schemat badania ekstremów — krok po kroku

1. Oblicz pochodną $f'(x)$
2. Rozwiąż $f'(x)=0$ → znajdź punkty krytyczne
3. Badaj znak $f'(x)$ na przedziałach między punktami krytycznymi
4. $f'$ zmienia $+\to-$: maksimum lokalne; $-\to+$: minimum lokalne; bez zmiany → punkt przegięcia (nie ekstremum)

Alternatywnie — druga pochodna

• $f'(x_0)=0$ i $f''(x_0)>0$ → minimum lokalne
• $f'(x_0)=0$ i $f''(x_0)<0$ → maksimum lokalne

Przykład

Ekstrema $f(x)=x^3-3x+2$.

1. $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)=0\Rightarrow x=\pm1$
2. Przedziały: $(-\infty,-1)$: $f'>0$ ↗; $(-1,1)$: $f'<0$ ↘; $(1,\infty)$: $f'>0$ ↗
3. $x=-1$: max ($f(-1)=4$); $x=1$: min ($f(1)=0$)

⚠️ Częsty błąd: $f'(x_0)=0$ to warunek konieczny, nie wystarczający! Np. $f(x)=x^3$ ma $f'(0)=0$, ale $x=0$ to punkt przegięcia, nie ekstremum.

Do czego służy: Znalezienie dowolnego wyrazu ciągu, w którym między kolejnymi wyrazami jest stała różnica $r$.

Zmienne

• $a_n$ — szukany $n$-ty wyraz
• $a_1$ — pierwszy wyraz ciągu
• $n$ — numer szukanego wyrazu (naturalna $\geq1$)
• $r$ — różnica ciągu: $r = a_2-a_1 = a_3-a_2 = \ldots$ (stała!)

Kiedy używać?

Gdy dane są co najmniej dwa kolejne wyrazy (lub pierwszy wyraz i różnica), a szukasz konkretnego wyrazu. Rozpoznasz ciąg arytmetyczny gdy różnice sąsiednich wyrazów są równe.

Jak stosować

1. Wyznacz $r$: odejmij od dowolnego wyrazu poprzedni
2. Znajdź $a_1$ (albo masz go wprost, albo cofnij się od podanego wyrazu)
3. Podstaw: $a_n = a_1 + (n-1)\cdot r$

Przykład

Ciąg arytmetyczny: 3, 7, 11, 15, … Znajdź 20. wyraz.

1. $a_1=3$, $r = 7-3 = 4$
2. $a_{20} = 3 + (20-1)\cdot 4 = 3 + 76 = 79$

⚠️ Częsty błąd: W nawiasie jest $(n-1)$, nie $n$! Dla pierwszego wyrazu: $(1-1)\cdot r = 0$, więc $a_1=a_1\checkmark$.

Do czego służy: Znalezienie dowolnego wyrazu ciągu, w którym każdy wyraz jest $q$ razy większy od poprzedniego.

Zmienne

• $a_n$ — szukany $n$-ty wyraz
• $a_1$ — pierwszy wyraz (≠ 0)
• $q$ — iloraz ciągu: $q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2}$ (stały, ≠ 0)
• $n$ — numer wyrazu

Jak odróżnić od arytmetycznego?

Arytmetyczny: różnica $a_{n+1}-a_n$ jest stała → dodajesz/odejmujesz. Geometryczny: iloraz $a_{n+1}/a_n$ jest stały → mnożysz/dzielisz.

Przykład

Ciąg: 2, 6, 18, 54, … Który wyraz równa się 1458?

1. $a_1=2$, $q=3$
2. $a_n = 2\cdot 3^{n-1} = 1458 \Rightarrow 3^{n-1} = 729 = 3^6 \Rightarrow n-1=6 \Rightarrow n=7$

Odpowiedź: 7. wyraz.

⚠️ Częsty błąd: Wykładnik to $(n-1)$! Dla 1. wyrazu: $a_1\cdot q^0 = a_1$. Sprawdź: $a_2 = a_1\cdot q^1 = a_1\cdot q\checkmark$.

Bryła powstała przez obrót wykresu $y=f(x)\ge0$ wokół osi $OX$ na przedziale $[a,b]$. Obrót wokół $OY$: $V=2\pi\int_a^b x\cdot f(x)\,dx$ (wzór powłoki cylindrycznej, tw. Pappusa). Wyjątki: walec $\pi r^2 h$, stożek $\frac{1}{3}\pi r^2 h$, kula $\frac{4}{3}\pi r^3$ — wynikają z tej całki.

Do czego służy: Obliczanie objętości wszystkich graniastosłupów (prostopadłościan, sześcian, pryzmat) i ostrosłupów (piramidy).

Zmienne

• $P_p$ — pole podstawy (oblicz odpowiednim wzorem)
• $h$ — wysokość bryły (prostopadle od podstawy do wierzchołka/górnej podstawy)

Zasada

Graniastosłup (dwie podstawy) → $P\cdot h$. Ostrosłup (jedna podstawa i wierzchołek) → $\frac{1}{3}P\cdot h$. Stożek to ostrosłup o kołowej podstawie, walec to graniastosłup kołowy.

Specjalne

• Sześcian: $V=a^3$, $S=6a^2$
• Prostopadłościan: $V=abc$, $S=2(ab+bc+ca)$

Przykład

Ostrosłup o kwadratowej podstawie $4\times4$ cm i wysokości 6 cm.

1. $P_p=16$ cm²
2. $V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot6=32$ cm³

⚠️ Częsty błąd: Ostrosłup zawsze ma $\frac{1}{3}$! Trzy takie ostrosłupy tworzą jeden graniastosłup.

Półkula (czaszka): $V=\frac{2}{3}\pi r^3=\frac{1}{2}V_{\text{kuli}}$. Segment kulowy (odcięty płaszczyzną): $V=\pi h^2(r-h/3)$, gdzie $h$ — wysokość segmentu, $r$ — promień kuli. Pole powierzchni segmentu (czapa): $P=2\pi r h$. Pierścień (torus): $V=2\pi^2 Rr^2$.

Do czego służy: Obliczanie objętości i pola powierzchni kuli.

Zmienne

• $r$ — promień kuli

Zapamiętaj

• Pole kuli = 4 × pole koła o tym samym promieniu
• Objętość: $r^3$ z czynnikiem $\frac{4}{3}$; Pole: $r^2$ z czynnikiem $4$

Przykład

Kula o średnicy $d=6$ cm. ($r=3$ cm)

1. $V=\frac{4}{3}\pi\cdot27=36\pi\approx113{,}1$ cm³
2. $S=4\pi\cdot9=36\pi\approx113{,}1$ cm²

Ciekawostka: Dla tej kuli $V=S$ liczbowo — to wyjątkowy przypadek!

⚠️ Częsty błąd: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ — nie zapomnij $\frac{4}{3}$! Pomylenie z $S=4\pi r^2$ (bez $\frac{4}{3}$) to klasyczny błąd maturalny.

Do czego służy: Obliczanie objętości i pola powierzchni stożka prostego.

Zmienne

• $r$ — promień podstawy
• $h$ — wysokość (prostopadła od wierzchołka do środka podstawy)
• $l$ — tworząca (bok ukośny): $l=\sqrt{r^2+h^2}$ (Pitagoras!)

Jak stosować

1. Jeśli brak $l$: oblicz $l=\sqrt{r^2+h^2}$
2. $V=\frac{1}{3}\pi r^2 h$
3. $S=\pi r(r+l)$

Przykład

Stożek: $r=4$ cm, $h=3$ cm.

1. $l=\sqrt{16+9}=5$ cm
2. $V=\frac{1}{3}\pi\cdot16\cdot3=16\pi\approx50{,}3$ cm³
3. $S=\pi\cdot4\cdot9=36\pi\approx113{,}1$ cm²

⚠️ Częsty błąd: Mylenie $h$ (wysokość pionowa) z $l$ (tworząca ukośna). Tworząca = Pitagoras z $r$ i $h$!

Do czego służy: Obliczanie objętości i pola powierzchni walca (cylindra).

Zmienne

• $r$ — promień podstawy (gdy podana średnica $d$: $r=d/2$)
• $h$ — wysokość walca

Rozkład pola powierzchni

• Dwie podstawy: $2\pi r^2$
• Płaszcz boczny (prostokąt $2\pi r \times h$): $2\pi rh$
• Całkowita: $S=2\pi r(r+h)$

Przykład

Walec: $r=3$ cm, $h=10$ cm.

1. $V=\pi\cdot9\cdot10=90\pi\approx282{,}7$ cm³
2. $S=2\pi\cdot3\cdot(3+10)=78\pi\approx245{,}0$ cm²

⚠️ Częsty błąd: Sprawdź czy zadanie podaje promień $r$ czy średnicę $d$ — to najczęstszy błąd przy walcach i kulach.

Obrót układu o kąt $\alpha$ daje nowe współrzędne tego samego punktu w obróconym układzie. Obrót punktu (nie układu): macierz z odwróconym znakiem sinus. Zastosowanie: eliminacja wyrazu $xy$ z równania stożkowej przez obrót o kąt $\cot(2\alpha)=(A-C)/B$ (dla $Ax^2+Bxy+Cy^2+\ldots=0$). Macierz obrotu ortogonalna: $R^{-1}=R^T$.

Do czego służy: Obliczanie długości granic figur płaskich — niezbędne przy ogrodzeniach, ramkach, trasach i zadaniach SP/egzamin ósmoklasisty.

Zestawienie wzorów

• Kwadrat: $L = 4a$
• Prostokąt: $L = 2(a+b)$
• Trójkąt: $L = a + b + c$ (suma trzech boków)
• Równoległobok: $L = 2(a+b)$ (jak prostokąt — dwie pary równoległych boków)
• Romb: $L = 4a$
• Trapez: $L = a + b + c + d$ (suma czterech boków)
• Koło: $L = 2\pi r = \pi d$
• Łuk okręgu: $l = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$ (gdzie $\alpha$ — kąt środkowy)

Przykład

Działka prostokątna 30 m × 20 m. Ile metrów siatki?

1. $L = 2 \cdot (30 + 20) = 100$ m

⚠️ Częsty błąd: Obwód to suma boków, nie pól! I nie mylić: koło ma obwód $2\pi r$, a pole $\pi r^2$. Pamiętaj $r^2$ to pole, $2r$ to obwód (razy $\pi$).

Do czego służy: Obliczanie odległości między dwoma punktami w układzie współrzędnych.

Zmienne

• $A(x_1,y_1)$ i $B(x_2,y_2)$ — dwa punkty
• $|AB|$ — ich odległość (zawsze $\geq0$)

Skąd pochodzi?

Twierdzenie Pitagorasa: trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $|x_2-x_1|$ i $|y_2-y_1|$.

Kiedy używać?

• Obliczanie długości odcinka z jego końców
• Sprawdzanie czy trójkąt jest równoboczny/równoramienny
• Wyznaczanie promienia okręgu gdy znasz środek i punkt leżący na nim

Przykład

Oblicz $|AB|$ dla $A(2,-1)$, $B(5,3)$.

1. $|AB|=\sqrt{(5-2)^2+(3+1)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

⚠️ Częsty błąd: Nie zapomnij kwadratu! $\sqrt{(x_2-x_1)+(y_2-y_1)}\neq|AB|$ — każda różnica musi być podniesiona do potęgi 2.

Analogia do wzoru 2D (odległość od prostej). Odległość między równoległymi płaszczyznami $Ax+By+Cz+D_1=0$ i $\cdots+D_2=0$: $d=\frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$. Stosowane w geometrii przestrzennej, grafice 3D i fizyce.

Odległość punktu $P(x_0,y_0)$ od prostej o równaniu ogólnym $Ax+By+C=0$. Szczególny przypadek: odległość od osi $OX$ wynosi $|y_0|$, od osi $OY$ wynosi $|x_0|$. Używana też do sprawdzenia, czy punkt leży na prostej ($d=0$).

$L$ — obwód podstawy ($n$ — liczba boków, $a$ — bok), $h_a$ — apotema boczna (wysokość trójkąta bocznego), $H$ — wysokość ostrosłupa, $r$ — apotema podstawy. Dla piramidy kwadratowej: $P_b=2a\cdot h_a$, gdzie $h_a=\sqrt{H^2+(a/2)^2}$.

Parabola: zbiór punktów jednakowo odległych od ogniska i kierownicy. Postać $y=ax^2+bx+c$: wierzchołek $(-b/2a,\,-\Delta/4a)$, oś symetrii $x=-b/2a$. Ognisko paraboli $y=ax^2$: $F=(0,\,\frac{1}{4a})$, kierownica $y=-\frac{1}{4a}$. Stosowana w antenach satelitarnych (promienie skupiane w ognisku).

Do czego służy: Liczenie ile sposobów można ustawić/wybrać elementy, gdy kolejność MA znaczenie.

Trzy sytuacje w kombinatoryce

• Permutacje $P_n = n!$ — ustawiamy wszystkie $n$ elementów w różnej kolejności
  Przykład: ile anagramów ma słowo? W ilu kolejnościach stanie 5 uczniów?
• Wariacje bez powtórzeń $V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ — wybieramy $k$ z $n$, kolejność ważna
  Przykład: ile 3-cyfrowych kodów PIN z 9 różnych cyfr?
• Wariacje z powtórzeniami $n^k$ — $k$ wyborów, każdy z $n$ opcji (możliwe powtórzenia)
  Przykład: ile 4-cyfrowych kodów PIN (cyfry 0–9, mogą się powtarzać)? → $10^4 = 10\,000$

Jak stosować

1. Czy kolejność ma znaczenie? Nie → kombinacje $\binom{n}{k}$. Tak → wariacje lub permutacje
2. Czy używamy wszystkich elementów? Tak → permutacje $n!$. Nie → wariacje $V_n^k$
3. Czy elementy mogą się powtarzać? Tak → $n^k$. Nie → $\frac{n!}{(n-k)!}$

Przykład

Ile różnych podium (1., 2., 3.) może zająć 8 zawodników?

1. Kolejność ważna, wybieramy 3 z 8, bez powtórzeń: $V_8^3 = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$

⚠️ Częsty błąd: „Wybieram komitet 3-osobowy" → kombinacje (kolejność nieważna). „Wybieram przewodniczącego, zastępcę i skarbnika" → wariacje (kolejność ważna, różne role).

Do czego służy: Definiuje pochodną jako chwilową prędkość zmiany funkcji. Geometrycznie: nachylenie stycznej do wykresu.

Interpretacje

• Geometryczna: $f'(x_0)$ = współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w $(x_0,f(x_0))$
• Fizyczna: droga $s(t)$ → prędkość $v=s'(t)$; prędkość $v(t)$ → przyspieszenie $a=v'(t)$

Równanie stycznej w punkcie $(x_0,f(x_0))$

$y=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)$

Kiedy pochodna nie istnieje?

W punktach nieciągłości, w ostrych wierzchołkach (np. $|x|$ w $x=0$) i gdy styczna jest pionowa.

⚠️ Częsty błąd: Pochodna to granica ilorazu różnicowego, nie sam iloraz $f(x)/x$!

Jeśli $f$ jest różnowartościowa i różniczkowalna, a $f'(x)\ne0$, to $f^{-1}$ jest różniczkowalna i jej pochodna = odwrotność pochodnej $f$ w odpowiednim punkcie. Przykłady: $(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ (bo $(\sin x)'=\cos x$, $\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$).

Pochodna cząstkowa po $x$: traktujemy $y$ jako stałą i różniczkujemy po $x$. Pochodne mieszane: $f_{xy}=\partial^2f/\partial y\partial x$. Twierdzenie Schwarza: jeśli $f_{xy}$ i $f_{yx}$ ciągłe, to $f_{xy}=f_{yx}$. Reguły (suma, iloczyn, łańcuchowa) obowiązują tak samo jak dla pochodnych zwykłych — przy pozostałych zmiennych traktowanych jako stałe.

Do czego służy: Gotowa tablica pochodnych — zapamiętaj te wzory, żeby szybko różniczkować.

Tablica pochodnych

• $(c)'=0$ (stała)
• $(x^n)'=nx^{n-1}$ np. $(x^4)'=4x^3$, $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $(\sin x)'=\cos x$; \quad $(\cos x)'=-\sin x$ (minus!)
• $(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}$
• $(e^x)'=e^x$ (jedyna funkcja równa swojej pochodnej!)
• $(a^x)'=a^x\ln a$
• $(\ln x)'=\frac{1}{x}$ (dla $x>0$)
• $(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$

⚠️ Częsty błąd: $(\cos x)'=-\sin x$ — jest MINUS! I $(e^x)'=e^x$ nie $xe^{x-1}$ (to reguła dla potęgowania, nie wykładniczej).

Do czego służy: Wyznaczanie boków i kątów trójkąta prostokątnego — fundament całej trygonometrii.

Zmienne (trójkąt prostokątny, kąt $\alpha$)

• $c$ — przeciwprostokątna: bok naprzeciwko kąta prostego, zawsze najdłuższy
• $a$ — przyprostokątna naprzeciwległa do $\alpha$ (po drugiej stronie trójkąta)
• $b$ — przyprostokątna przyległa do $\alpha$ (tworzy kąt $\alpha$ z przeciwprostokątną)

Mnemotechnika SOH–CAH–TOA

• Sin = Opp / Hyp → $\sin\alpha = a/c$
• Cos = Adj / Hyp → $\cos\alpha = b/c$
• Tan = Opp / Adj → $\tan\alpha = a/b = \sin\alpha/\cos\alpha$

Kiedy używać?

Gdy znasz kąt i jeden bok → oblicz drugi. Gdy znasz dwa boki → oblicz kąt używając arcsin/arccos/arctan.

Jak stosować

1. Zidentyfikuj kąt $\alpha$, przy którym pracujesz
2. Nazwij boki względem tego kąta
3. Wybierz wzór zależnie od co znasz i czego szukasz
4. Jeśli szukasz kąta: $\alpha = \arcsin(a/c)$, $\arccos(b/c)$ lub $\arctan(a/b)$

Przykład

Trójkąt prostokątny: $\alpha=30°$, przeciwprostokątna $c=10$. Znajdź boki $a$ i $b$.

1. $a = c\cdot\sin30° = 10\cdot0{,}5 = 5$
2. $b = c\cdot\cos30° = 10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx8{,}66$

⚠️ Częsty błąd: Mylenie boków — przyległa to ta, która tworzy kąt $\alpha$ razem z przeciwprostokątną. Narysuj trójkąt i zaznacz $\alpha$!

Kluczowe wzory: $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$, $\int\cos x\,dx=\sin x+C$, $\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$, $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$, $\int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$.

Do czego służy: Obliczanie pól wszystkich podstawowych figur płaskich.

Kompletne zestawienie

• Prostokąt: $P=a\cdot b$
• Kwadrat: $P=a^2$
• Równoległobok: $P=a\cdot h$ (h = wysokość, nie bok ukośny)
• Romb: $P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$ lub $P=a^2\sin\alpha$
• Trapez: $P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$ (a, b = podstawy równoległe)
• Trójkąt równoboczny: $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
• Koło: $P=\pi r^2$; obwód: $C=2\pi r$
• Wycinek koła: $P=\frac{\alpha}{360°}\pi r^2$; łuk: $l=\frac{\alpha}{360°}\cdot2\pi r$

Jak liczyć pola złożonych figur

1. Podziel figurę na znane kształty
2. Oblicz pola części
3. Zsumuj lub odejmij (gdy jest wycięcie)

⚠️ Częsty błąd: W równoległoboku i trapezie $h$ to prostopadła odległość między podstawami, nie długość boku ukośnego!

Pole boczne walca: prostokąt o wymiarach $2\pi r\times h$. Pole boczne stożka: wycinek koła o promieniu $l$ (tworząca) i łuku $2\pi r$. Pola całkowite: walec $2\pi r(r+h)$, stożek $\pi r(r+l)$. Objętości: walec $\pi r^2 h$, stożek $\frac{1}{3}\pi r^2 h$.

Rzeczywiste pole (nieujemne) obliczamy z wartości bezwzględnej. Gdy $f$ zmienia znak na $[a,b]$, dzielimy przedział w miejscach zerowych i sumujemy wartości bezwzględne całek cząstkowych. Pole między wykresami $f$ i $g$: całkujemy $|f-g|$.

Pole boczne bryły powstałej przez obrót $y=f(x)\ge0$ wokół $OX$ na $[a,b]$: element łuku $ds=\sqrt{1+(f')^2}\,dx$, obwód okręgu $2\pi f(x)$. Dla parametrycznej $(x(t),y(t))$: $S=2\pi\int y\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}\,dt$. Przykład: kula — obrót półokręgu $y=\sqrt{r^2-x^2}$: $S=4\pi r^2$.

Wzór obowiązuje zarówno dla rombu, jak i deltoidu — pole równa się połowie iloczynu przekątnych (które w obu figurach są prostopadłe). Dla rombu o boku $a$ i kącie $\alpha$: $P=a^2\sin\alpha$. Obwód rombu: $L=4a$.

$a$, $b$ — długości równoległych podstaw, $h$ — odległość między nimi. Trapez prostokątny: jedno ramię prostopadle do podstaw. Trapez równoramienny: symetryczny, przekątne równe. Środkowa trapezu (łącząca środki ramion): $m=\frac{a+b}{2}$, równoległa do podstaw.

Do czego służy: Obliczenie pola trójkąta — wzór dobierasz do tego, co masz dane.

Wzory — który kiedy

• $P = \frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a$ → gdy masz podstawę i wysokość (prostopadle do niej)
• $P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ → gdy masz dwa boki i kąt między nimi
• Wzór Herona: $P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, $s=\frac{a+b+c}{2}$ → gdy masz tylko trzy boki

Wysokość trójkąta — jak wyznaczyć

Wysokość jest prostopadła do wybranej podstawy. W trójkącie prostokątnym: obie przyprostokątne są nawzajem swoimi wysokościami. W ogólnym: $h_a = b\sin\gamma$.

Przykład — wzór Herona

Trójkąt o bokach 5, 6, 7. Oblicz pole.

1. $s=\frac{5+6+7}{2}=9$
2. $P=\sqrt{9\cdot4\cdot3\cdot2}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}\approx14{,}7$ cm²

⚠️ Częsty błąd: Wysokość ≠ bok ukośny! Wysokość jest zawsze prostopadła do podstawy — może leżeć poza trójkątem przy kącie rozwartym.

Trzy ważne postaci pola: przez dwa boki i zawarty kąt; przez jeden bok i dwa kąty (tw. sinusów); przez promień okręgu wpisanego $r$ i półobwód $s$. Pole prostokąta ze wzoru Herona: $P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$. Przydatne gdy nie znamy wysokości wprost.

Wielokąt foremny $n$-kątny o boku $a$. Promień okręgu opisanego: $R=\frac{a}{2\sin(\pi/n)}$. Apotema (promień okręgu wpisanego): $r=\frac{a}{2\tan(\pi/n)}$. Wzór ogólny: $P=\frac{1}{2}\cdot n\cdot a\cdot r$. Dla $n\to\infty$ wielokąt foremny dąży do koła.

Wzór Gaussa (Shoelace Formula): wierzchołki $(x_0,y_0),\ldots,(x_{n-1},y_{n-1})$ podane kolejno. Dla trójkąta: $A=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$. Wynik ze znakiem: + dla kolejności p.p.w.z. (CCW), − dla CW. Zastosowanie: obliczenia GIS, geometria obliczeniowa, sprawdzenie czy punkt jest wewnątrz wielokąta.

Wzory połówkowe obniżają stopień przed całkowaniem. Ogólnie: wielokrotne zastosowanie wzorów na kąt podwojony. Iloczyny $\sin^m x\cos^n x$: przy parzystym $m$ lub $n$ zamieniamy przez wzory połówkowe; dla nieparzystych — podstawienie $u=\cos x$ lub $u=\sin x$. Całka: $\int\sin^2x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C$.

Do czego służy: Upraszczanie skomplikowanych wyrażeń logarytmicznych i rozwiązywanie równań logarytmicznych.

Prawa

• $\log_a(b\cdot c) = \log_a b + \log_a c$ — iloczyn → suma (i odwrotnie)
• $\log_a\frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$ — iloraz → różnica
• $\log_a b^n = n\cdot\log_a b$ — wykładnik wysuwa się przed logarytm
• $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} = \frac{\lg b}{\lg a}$ — zmiana podstawy (użyj kalkulatora!)

Kiedy używać?

• Upraszczanie sumy/różnicy logarytmów → sprowadzenie do jednego logarytmu
• Przeniesienie potęgi przed logarytm, by łatwiej rozwiązać równanie
• Obliczanie logarytmów o dowolnej podstawie kalkulatorem (zmiana podstawy)

Przykład

Oblicz $\log_2 32 - \log_2 4$.

1. Prawo ilorazu: $\log_2\frac{32}{4} = \log_2 8$
2. $2^? = 8$, więc $\log_2 8 = 3$

Odpowiedź: 3

⚠️ Częsty błąd: $\log(a+b) \neq \log a + \log b$! Prawo sumy dotyczy iloczynu argumentów, nie sumy.

Do czego służy: Upraszczanie i obliczanie wyrażeń zawierających potęgi, pierwiastki i ułamkowe wykładniki.

Pełna lista praw

• $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ — ta sama podstawa, mnożenie → dodaj wykładniki
• $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ — ta sama podstawa, dzielenie → odejmij wykładniki
• $(a^m)^n = a^{mn}$ — potęga potęgi → pomnóż wykładniki
• $(ab)^n = a^n b^n$ — potęga iloczynu → rozdziel na czynniki
• $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ — potęga ilorazu
• $a^0 = 1$ dla $a\neq 0$
• $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ — wykładnik ujemny = odwrotność
• $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ — wykładnik ułamkowy = pierwiastek
• $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$

Kiedy używać?

Przy upraszczaniu wyrażeń potęgowych, rozwiązywaniu równań wykładniczych (np. $2^x = 16$), przeliczaniu liczb w notacji naukowej.

Przykład

Uprość: $\frac{2^5 \cdot 4^2}{8^2}$

1. Zamień na wspólną podstawę 2: $4^2 = (2^2)^2 = 2^4$, $8^2=(2^3)^2=2^6$
2. $\frac{2^5 \cdot 2^4}{2^6} = \frac{2^9}{2^6} = 2^3 = 8$

⚠️ Częsty błąd: $a^m \cdot b^m = (ab)^m$, ale $a^m \cdot a^n \neq a^{mn}$! Przy mnożeniu o tej samej podstawie — dodajesz wykładniki, nie mnożysz.

Do czego służy: Obliczanie prawdopodobieństwa gdy wszystkie wyniki są jednakowo możliwe (symetryczna kostka, tasowane karty, losowanie).

Zmienne

• $|A|$ — liczba wyników sprzyjających zdarzeniu $A$
• $|\Omega|$ — liczba wszystkich możliwych wyników
• $P(A)\in[0,1]$: 0 = niemożliwe, 1 = pewne

Kluczowe wzory

• Zdarzenie przeciwne: $P(\bar{A})=1-P(A)$
• Suma (zdarzenia rozłączne): $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
• Suma (ogólna): $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
• Iloczyn (niezależne): $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Jak stosować

1. Wypisz lub policz $|\Omega|$ (wszystkie możliwe wyniki)
2. Wypisz lub policz $|A|$ (wyniki sprzyjające)
3. Oblicz stosunek

Przykład

Dwie kostki. Prawdopodobieństwo że suma = 7.

1. $|\Omega|=36$
2. Pary: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) → $|A|=6$
3. $P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\approx16{,}7\%$

⚠️ Częsty błąd: Wzór klasyczny działa TYLKO gdy wyniki są jednakowo prawdopodobne — nie stosuj go dla obciążonej kostki czy niesymetrycznych zdarzeń.

Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ pod warunkiem zajścia $B$. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite: $P(A)=\sum_i P(A|B_i)P(B_i)$, gdzie $\{B_i\}$ to pełny układ zdarzeń. Zdarzenia niezależne: $P(A|B)=P(A)$, wtedy $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

Do czego służy: Obliczanie wartości kapitału, populacji lub dowolnej wielkości rosnącej/malejącej procentowo w każdym okresie (odsetki, inflacja, wzrost populacji).

Zmienne

• $K_0$ — wartość początkowa (np. zainwestowany kapitał)
• $K_n$ — wartość po $n$ okresach
• $r$ — stopa procentowa w procentach (np. 5 dla 5%)
• $n$ — liczba okresów (lat, miesięcy)

Warianty

• Wzrost: $K_n = K_0 \cdot (1 + r/100)^n$; np. $r = 5\%$ → czynnik $1{,}05$
• Spadek: $K_n = K_0 \cdot (1 - r/100)^n$; np. deprecjacja $r = 10\%$ → czynnik $0{,}90$

Jak stosować

1. Wypisz $K_0$, $r$, $n$
2. Oblicz czynnik: $(1 \pm r/100)$
3. Podnieś do potęgi $n$ i pomnóż przez $K_0$

Przykład

Lokata 10 000 zł, oprocentowanie 6% rocznie. Kwota po 3 latach?

1. $K_3 = 10\,000 \cdot (1{,}06)^3 = 10\,000 \cdot 1{,}191 = 11\,910$ zł

⚠️ Częsty błąd: Procent prosty: $K = K_0 \cdot (1 + n \cdot r/100)$ — uwaga, to inny wzór! Procent składany używa potęgowania, nie mnożenia przez $n$.

Do czego służy: Obliczanie wartości procentowych i rozwiązywanie proporcji — podstawa zadań z życia codziennego (rabaty, podatki, wzrost cen).

Wzory procentowe

• $p\%$ z liczby $W$: $\quad x = \frac{p}{100} \cdot W$
• Jaki procent $x$ stanowi z $W$: $\quad p = \frac{x}{W} \cdot 100\%$
• Całość gdy znamy część i procent: $\quad W = \frac{x}{p} \cdot 100$
• Zmiana procentowa: $\quad \Delta\% = \frac{W_{\text{nowe}} - W_{\text{stare}}}{W_{\text{stare}}} \cdot 100\%$

Proporcja

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ → iloraz krzyżowy: $a \cdot d = b \cdot c$

Jak stosować — krok po kroku

1. Zidentyfikuj: co jest „całością" $W$, jaki procent $p$, czego szukasz
2. Podnieś procentową zmianę: cena wzrosła o 20% → nowa = $W \cdot 1{,}20$; zniżka 15% → $W \cdot 0{,}85$
3. Proporcja: przyrównaj dwa ułamki i skrzyżuj

Przykład

Buty kosztują 250 zł. Jest 30% rabat. Cena po rabacie?

1. Rabat: $\frac{30}{100} \cdot 250 = 75$ zł
2. Cena po rabacie: $250 - 75 = 175$ zł (lub $250 \cdot 0{,}70 = 175$ zł)

⚠️ Częsty błąd: Wzrost o 20%, a potem spadek o 20% nie wraca do punktu wyjścia! $100 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8 = 96$, nie 100. Procenty działają na aktualną wartość.

Twierdzenie sinusów: $\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$. Środek okręgu opisanego (circumcenter) leży na przecięciu symetralnych boków. Dla trójkąta prostokątnego: $R=\frac{c}{2}$ (połowa przeciwprostokątnej).

$P$ — pole trójkąta, $s$ — połowa obwodu (semiperimeter). Okrąg wpisany dotyka każdego boku od wewnątrz. Środek (incentrum) leży na przecięciu dwusiecznych kątów. Wzór Herona na pole: $P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.

Prosta przechodzi przez $P_0(x_0,y_0,z_0)$ z kierunkiem $\vec{d}=(d_x,d_y,d_z)$. Postać symetryczna: $\frac{x-x_0}{d_x}=\frac{y-y_0}{d_y}=\frac{z-z_0}{d_z}$. Dwie proste: równoległe gdy $\vec{d_1}\parallel\vec{d_2}$, prostopadłe gdy $\vec{d_1}\cdot\vec{d_2}=0$, skośne gdy się nie przecinają i nie są równoległe.

Z prawdopodobieństwem $1-\alpha$ wartość oczekiwana $\mu$ leży w $[\bar x-E,\bar x+E]$. Wymaga: $n$ duże lub populacja normalna; $\sigma$ znane. Błąd $E$ maleje jak $1/\sqrt{n}$ — 4× większa próba → 2× mniejszy błąd. Przy nieznanym $\sigma$: zamieniamy $\sigma\to s$ i $z\to t_{n-1,\alpha/2}$ (rozkład t-Studenta).

Przekątna prostopadłościanu o krawędziach $a$, $b$, $c$ wyznaczana z uogólnionego twierdzenia Pitagorasa (3D). Dla sześcianu ($a=b=c$): $d=a\sqrt{3}$. Przekątna ściany $a\times b$: $\sqrt{a^2+b^2}$. Kąt przekątnej z podstawą: $\arctan\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Współrzędne jednorodne pozwalają opisać przesunięcie, obrót, skalowanie i ścinanie jako jedno mnożenie macierzy. Kompozycja: iloczyn macierzy. Obrót + przesunięcie: $\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha&t_x\\sin\alpha&\cos\alpha&t_y\0&0&1\end{pmatrix}$. Odwrotność: macierz odwrotna. Zastosowanie: grafika 2D/3D, robotyka, wizja maszynowa.

Wykres $y=f(x-p)+q$ to wykres $y=f(x)$ przesunięty o $p$ w prawo i $q$ w górę (dla $p,q>0$). Inne transformacje: $y=f(-x)$ — oś $OY$, $y=-f(x)$ — oś $OX$, $y=|f(x)|$ — odbicie części ujemnej, $y=f(|x|)$ — część prawa kopiowana w lewo.

Prosta regresji minimalizuje sumę kwadratów odchyleń pionowych $\sum(y_i-\hat{y}_i)^2$. Prosta zawsze przechodzi przez punkt $(\bar{x},\bar{y})$. Błąd standardowy regresji: $s=\sqrt{\frac{\sum(y_i-\hat{y}_i)^2}{n-2}}$. Stosowana do prognozowania i modelowania zależności.

Stosowana do granic nieoznaczonych $\frac{0}{0}$ lub $\frac{\infty}{\infty}$. Można stosować wielokrotnie. Inne formy ($0\cdot\infty$, $\infty-\infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$) należy najpierw przekształcić do postaci ułamkowej. Warunek: $f$ i $g$ różniczkowalne w otoczeniu $a$.

Do czego służy: Obliczanie pochodnych złożonych wyrażeń — gdy prosta tablica nie wystarczy.

Cztery reguły

• Suma/różnica: $(f\pm g)'=f'\pm g'$
• Iloczyn (Leibniz): $(fg)'=f'g+fg'$ — „pochodna pierwszej razy druga plus pierwsza razy pochodna drugiej"
• Iloraz: $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ — licznik: MINUS (nie plus!)
• Złożona (łańcuchowa): $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ — „zewnętrzna' × wewnętrzna'"

Przykłady

• Złożona: $(\sin(3x^2))'=\cos(3x^2)\cdot6x$
• Iloczyn: $(x^2\sin x)'=2x\sin x+x^2\cos x$
• Iloraz: $\left(\frac{x}{x+1}\right)'=\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$

⚠️ Częsty błąd: W ilorazie jest MINUS w liczniku! $f'g\mathbf{-}fg'$, a nie plus. I pamiętaj o mianowniku $g^2$.

Elipsa o półosiach $a$ (większa) i $b$ (mniejsza). Ogniska: $F_1(-c,0)$ i $F_2(c,0)$. Własność ogniskowa: $|PF_1|+|PF_2|=2a$ dla każdego punktu $P$ elipsy. Mimośród: $e=\frac{c}{a}\in(0,1)$. Okrąg to elipsa z $a=b$, $e=0$.

Hiperbola o ogniskach $(\pm c,0)$. Własność ogniskowa: $||PF_1|-|PF_2||=2a$. Asymptoty: $y=\pm\frac{b}{a}x$. Mimośród $e=\frac{c}{a}>1$. Hiperbola równoosiowa ($a=b$): asymptoty prostopadłe, mimośród $e=\sqrt{2}$.

Przekształcamy: $a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi)$, gdzie $R=\sqrt{a^2+b^2}$, $\cos\varphi=a/R$, $\sin\varphi=b/R$. Równanie $R\sin(x+\varphi)=c$ ma rozwiązania $\Leftrightarrow|c|\le R$. Ogólne rozwiązanie: $x=\arcsin(c/R)-\varphi+2k\pi$ lub $x=\pi-\arcsin(c/R)-\varphi+2k\pi$. Alternatywnie: postać $R\cos(x-\psi)$.

Do czego służy: Opis każdej prostej na płaszczyźnie. Podstawa geometrii analitycznej.

Dwie formy

• Kierunkowa $y=kx+b$: widać nachylenie $k$ i punkt przecięcia z OY ($b$). Nie opisuje prostych pionowych!
• Ogólna $Ax+By+C=0$: opisuje KAŻDĄ prostą (też pionowe gdy $B=0$)

Kluczowe zależności

• Proste równoległe: $k_1=k_2$ (te same nachylenia, różne $b$)
• Proste prostopadłe: $k_1\cdot k_2=-1$, tzn. $k_2=-\frac{1}{k_1}$
• Odległość punktu $(x_0,y_0)$ od prostej $Ax+By+C=0$: $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Jak wyznaczyć prostą przez 2 punkty

1. $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
2. $b=y_1-k\cdot x_1$

⚠️ Częsty błąd: Prosta prostopadła ma $k_2=-1/k_1$, nie $-k_1$! Np. do prostej o $k=2$ prostopadła ma $k=-1/2$.

Do czego służy: Opisuje okrąg o środku $S(a,b)$ i promieniu $r$. Pozwala sprawdzić czy punkt leży na okręgu, wewnątrz lub zewnątrz.

Jak odczytać środek i promień

• Z $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$: środek $(a,b)$, promień $r=\sqrt{\text{prawej strony}}$
• Uwaga: $(x+2)^2+(y-3)^2=25$ → środek $(-2,3)$, $r=5$

Sprawdzenie przynależności punktu

• Podstaw $(x_0,y_0)$ do wzoru: $=r^2$ → na okręgu; $<r^2$ → wewnątrz; $>r^2$ → zewnątrz

Przykład

Napisz równanie okręgu o środku $S(3,-2)$ i promieniu $r=5$.

1. $(x-3)^2+(y+2)^2=25$

⚠️ Częsty błąd: Środek $S(-2,3)$ → równanie $(x\mathbf{+}2)^2+(y\mathbf{-}3)^2=r^2$. Znaki w nawiasach są ODWROTNE do współrzędnych środka!

Wektor normalny $\vec{n}=[A,B,C]$ jest prostopadły do płaszczyzny. Wyznaczanie: znając punkt $P_0$ i normalną $\vec{n}$: $\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r}_0)=0$. Trzy punkty: wyznaczamy $\vec{n}=\vec{P_0P_1}\times\vec{P_0P_2}$. Dwie płaszczyzny równoległe: normalne proporcjonalne; prostopadłe: $\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0$.

Styczna do wykresu $y=f(x)$ w punkcie $(x_0, f(x_0))$: nachylenie $= f'(x_0)$. Normalna: prostopadła do stycznej w tym samym punkcie, nachylenie $= -1/f'(x_0)$. Gdy $f'(x_0)=0$: styczna pozioma, normalna pionowa ($x=x_0$).

Dla $|a|\le 1$ równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Specjalne przypadki: $\sin x=0\Rightarrow x=k\pi$, $\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$. Dla cosinusa: $\cos x=a\Rightarrow x=\pm\arccos a+2k\pi$.

Równanie $\tan x=a$ ma rozwiązania dla każdego $a\in\mathbb{R}$ z wykluczeniem $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$. Dla cotangensa: $\cot x=a\Rightarrow x=\text{arccot}\,a+k\pi$. Okres tangensa wynosi $\pi$ (nie $2\pi$).

Model $n$ niezależnych prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu $p$. Wartość oczekiwana $np$, wariancja $npq$ ($q=1-p$). Aproksymacja: normalną $N(np,npq)$ gdy $np>5$ i $nq>5$; Poissonem $\lambda=np$ gdy $n$ duże i $p$ małe. Suma dwóch niezależnych $B(n_1,p)$ i $B(n_2,p)$: $B(n_1+n_2,p)$.

Krzywa dzwonowa z wartością oczekiwaną $\mu$ i odchyleniem standardowym $\sigma$. Reguła $3\sigma$: ~68% danych mieści się w $[\mu-\sigma,\mu+\sigma]$, ~95% w $[\mu-2\sigma,\mu+2\sigma]$, ~99,7% w $[\mu-3\sigma,\mu+3\sigma]$. Standaryzacja: $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$.

Gdy $\sigma$ nieznane i $n$ małe ($n<30$): statystyka $t$ ma rozkład t-Studenta z $\nu=n-1$ stopniami swobody. Przedział ufności: $\bar x\pm t_{\nu,\alpha/2}\cdot s/\sqrt{n}$. Dla $\nu\to\infty$: $t\to N(0,1)$. Tabela: $t_{9,0.025}=2{,}262$ (95\%, $n=10$). Stosowany w teście t, regresji, porównaniu dwóch średnich.

Rzut prostopadły $P'$ punktu $P_0$ na prostą $\ell$: odejmujemy składową normalną o wartości $(ax_0+by_0+c)/(a^2+b^2)$. Symetria względem $\ell$ (odbicie): $P^*=2P'-P_0$. Odległość $P_0$ od $\ell$: $d=|ax_0+by_0+c|/\sqrt{a^2+b^2}$. Zastosowanie: grafika komputerowa, geometria obliczeniowa, refleksja optyczna.

Model $n$ niezależnych prób z prawdopodobieństwem sukcesu $p$. $X\sim B(n,p)$ — rozkład dwumianowy. Wartość oczekiwana: $E(X)=np$. Wariancja: $D^2(X)=np(1-p)$. Przykłady: rzuty monetą, losowanie ze zwracaniem, testy wyboru.

Do czego służy: Wyznaczenie „typowej" wartości reprezentującej cały zbiór danych.

Dwa rodzaje

• Zwykła: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$ — gdy wszystkie wartości mają tę samą wagę
• Ważona: $\bar{x}_w=\frac{w_1x_1+\ldots+w_nx_n}{w_1+\ldots+w_n}$ — gdy wartości mają różne znaczenie (wagi)

Kiedy ważona?

Oceny szkolne z wagami, ceny kupowanych towarów w różnych ilościach, wyniki testów z różną liczbą punktów za pytanie.

Przykład

Oceny: 5 (waga 3), 4 (waga 1), 3 (waga 2).

1. $\bar{x}_w=\frac{5\cdot3+4\cdot1+3\cdot2}{3+1+2}=\frac{25}{6}\approx4{,}17$

⚠️ Częsty błąd: Dzielisz przez sumę wag (tu 6), nie przez liczbę ocen (tu 3)!

Do czego służy: Znalezienie punktu w połowie odcinka $AB$. Współrzędne środka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców.

Kiedy używać?

• Środek przekątnej prostokąta/równoległoboku
• Gdy masz środek $S$ i jeden koniec $A$ — wyznacz drugi koniec $B$: $x_B=2x_S-x_A$
• Punkt ciężkości trójkąta (środek każdego boku)

Przykład

Przekątna prostokąta: $A(1,2)$ i $C(7,6)$. Gdzie przecinają się przekątne?

1. $S=\left(\frac{1+7}{2},\frac{2+6}{2}\right)=(4,4)$

Obie przekątne muszą przechodzić przez $(4,4)$ — sprawdzenie symetrii prostokąta.

⚠️ Częsty błąd: Gdy szukasz brakującego końca $B$ ze środka $S$ i końca $A$: $x_B=2x_S-x_A$ (nie $x_S-x_A$)!

Styczna jest prostopadła do promienia w punkcie styku. Z zewnętrznego punktu $P$ można poprowadzić dwie styczne równej długości: $|PT_1|=|PT_2|$. Potęga punktu: $|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|$ dla dowolnych cięciw przechodzących przez $P$.

Zamienia każdą funkcję wymierną $R(\sin x,\cos x)$ na funkcję wymierną $t$ — zawsze całkowalną przez ułamki proste. Przykład: $\int\frac{dx}{1+\sin x}=\int\frac{2\,dt/(1+t^2)}{1+2t/(1+t^2)}=\int\frac{2\,dt}{(1+t)^2}=-\frac{2}{1+t}+C$. Wada: obliczenia skomplikowane; przy prostszych całkach szukaj lepszego podstawienia.

Do czego służy: Szybkie zsumowanie pierwszych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego — bez dodawania jednego po drugim.

Zmienne

• $S_n$ — suma $n$ wyrazów
• $n$ — liczba wyrazów do zsumowania
• $a_1$ — pierwszy wyraz; $a_n$ — ostatni (n-ty) wyraz
• $r$ — różnica ciągu

Który wzór wybrać?

• Wzór 1: $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ → gdy znasz pierwszy i ostatni wyraz
• Wzór 2: $S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)r)}{2}$ → gdy znasz $a_1$ i różnicę $r$

Intuicja geometryczna

Suma = liczba wyrazów × średnia arytmetyczna (pierwszego i ostatniego). To jak liczenie pola trapezu!

Przykład

Oblicz $1+2+3+\ldots+100$.

1. $a_1=1$, $a_{100}=100$, $n=100$
2. $S_{100} = \frac{100\cdot(1+100)}{2} = \frac{100\cdot101}{2} = 5050$

⚠️ Częsty błąd: Sprawdź czy $a_n$ w zadaniu to rzeczywiście ostatni sumowany wyraz! Jeśli sumujesz np. od $a_3$ do $a_n$, wzór wymaga modyfikacji.

Do czego służy: Suma skończonej lub (przy $|q|<1$) nieskończonej liczby wyrazów ciągu geometrycznego.

Przypadki

• $q\neq1$: $S_n = a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}$
• $q=1$: $S_n = n\cdot a_1$ (wszystkie wyrazy równe)
• $|q|<1$ (suma nieskończona): $S = \frac{a_1}{1-q}$

Kiedy używać?

Procent składany, sumowanie szeregów geometrycznych, zadania o wielokrotnym stosowaniu tego samego mnożnika.

Przykład — suma nieskończona

Oblicz $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \ldots$

1. $a_1=1$, $q=\frac{1}{3}$ (bo $|q|<1$ → istnieje suma nieskończona)
2. $S = \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$

⚠️ Częsty błąd: Suma nieskończona istnieje tylko gdy $|q|<1$! Dla $q\geq1$ ciąg nie zmierza do 0 i suma nieskończona nie istnieje.

Nieskończony szereg geometryczny $a_1+a_1 q+a_1 q^2+\cdots$ jest zbieżny dla $|q|<1$ i ma sumę $S=\frac{a_1}{1-q}$. Dla $|q|\ge 1$ szereg jest rozbieżny. Przykład: $1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\cdots=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.

Rozwinięcia w szereg potęgowy (zbieżne dla wszystkich $x\in\mathbb{R}$): $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots$, $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\cdots$, $\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\cdots$. Stosowane do przybliżeń, obliczania granic i całek trudnych funkcji.

Szereg zbiega bezwzględnie dla $|x-a|R$. Na brzegu $|x-a|=R$ badamy osobno. Wzór Cauchy'ego-Hadamarda: $1/R=\limsup\sqrt[n]{|c_n|}$. Wzór ilorazowy (gdy istnieje): $R=\lim|c_n/c_{n+1}|$. Przykłady: $e^x=\sum x^n/n!$, $R=\infty$; $\ln(1+x)=\sum(-1)^{n+1}x^n/n$, $R=1$.

Uogólnienie Maclaurina (który jest Taylorem dla $a=0$). Reszta Lagrange'a: $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ dla pewnego $\xi$ między $a$ a $x$. Stosowane do przybliżeń numerycznych i upraszczania granic z postacią nieoznaczoną.

$O_i$ — obserwowane, $E_i$ — oczekiwane liczebności. Test zgodności: czy dane pasują do rozkładu teoretycznego. Test niezależności cech w tabeli $r\times c$: $E_{ij}=R_i C_j/n$. Odrzucamy $H_0$ gdy $\chi^2>\chi^2_{\nu,\alpha}$. Założenie: $E_i\ge5$ dla każdej klasy. Przy małych $E_i$: łączymy klasy lub test dokładny Fishera.

Do czego służy: Obliczanie trzeciego boku z dwóch boków i kąta między nimi (BBK), lub wyznaczanie kątów gdy znamy trzy boki (BBB).

Zmienne

• $c$ — szukany bok (naprzeciwko kąta $\gamma$)
• $a,b$ — znane boki tworzące kąt $\gamma$
• $\gamma$ — kąt zawarty między bokami $a$ i $b$

Warianty

• Szukasz boku: $c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$
• Szukasz kąta (masz 3 boki): $\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
• Szczególny przypadek $\gamma=90°$: $c^2=a^2+b^2$ (Pitagoras!)

Przykład

Trójkąt: $a=5$, $b=7$, $\gamma=60°$. Oblicz $c$.

1. $c^2 = 25+49-2\cdot5\cdot7\cdot0{,}5 = 74-35 = 39$
2. $c=\sqrt{39}\approx6{,}24$

⚠️ Częsty błąd: Kąt $\gamma$ musi leżeć między bokami $a$ i $b$! Pomylenie ułożenia boków i kąta daje błędny wynik.

Dla $f$ ciągłej na $[a,b]$ i różniczkowalnej na $(a,b)$ istnieje punkt $\xi$, w którym styczna jest równoległa do siecznej łączącej $(a,f(a))$ i $(b,f(b))$. Zastosowania: szacowanie błędów, dowody monotoniczności ($f'> 0\Rightarrow f$ rosnąca), twierdzenie de l'Hôpitala.

Twierdzenie Cevy: odcinki $AX$, $BY$, $CZ$ trójkąta $ABC$ (gdzie $X\in BC$ itd.) są współbieżne (lub równoległe) $\Leftrightarrow$ iloczyn ilorazów $=1$ (ze znakami). Specjalne: środkowe ($G$), bisektryce ($I$), wysokości ($H$). Twierdzenie Menelaosa: punkty na bokach (lub ich przedłużeniach) są współliniowe $\Leftrightarrow$ iloczyn ilorazów $=-1$ (ze znakami). Dualność Menelaos-Ceva.

Do czego służy: Obliczanie brakującego boku trójkąta prostokątnego. Jeden z najczęściej używanych wzorów w geometrii i fizyce.

Zmienne

• $a, b$ — przyprostokątne (dwa krótsze boki tworzące kąt prosty)
• $c$ — przeciwprostokątna (najdłuższy bok, naprzeciwko kąta 90°)

Trzy postacie — wybierz zależnie co szukasz

• Szukasz $c$: $c = \sqrt{a^2+b^2}$
• Szukasz $a$: $a = \sqrt{c^2-b^2}$
• Sprawdzasz czy trójkąt jest prostokątny: jeśli $a^2+b^2=c^2$ → tak

Trójki pitagorejskie (warto zapamiętać)

$(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$, $(7,24,25)$ i ich wielokrotności: $(6,8,10)$, $(9,12,15)$ itp.

Zastosowania

Przekątna prostokąta, wysokość trójkąta równobocznego, tworząca stożka, odległość punktów, diagnozy brył.

Przykład

Prostokąt o bokach 6 i 8 cm. Oblicz przekątną.

1. $c = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ cm

⚠️ Częsty błąd: Wzoru używasz tylko w trójkącie prostokątnym! Jeśli kąt prosty nie jest zaznaczony lub podany — sprawdź to najpierw.

W czworokącie wpisanym w okrąg: iloczyn przekątnych = suma iloczynów par boków przeciwległych. Odwrotność: jeśli równość zachodzi, czworokąt jest cykliczny. Przypadek szczególny: prostokąt — przekątne równe, wzór daje twierdzenie Pitagorasa. Zastosowanie: dowody tożsamości trygonometrycznych, konstruowanie długości niewymiernych.

Do czego służy: Obliczanie brakujących boków lub kątów w dowolnym trójkącie, gdy znasz bok i naprzeciwległy kąt.

Zmienne

• $a,b,c$ — boki trójkąta; $\alpha,\beta,\gamma$ — kąty naprzeciwległe do nich
• $R$ — promień okręgu opisanego na trójkącie

Kiedy używać?

• KBK: znasz dwa kąty i bok między nimi → oblicz pozostałe boki
• BKB: znasz bok i kąt naprzeciwległy → oblicz inne boki/kąty

Jak stosować

1. Dopełnij brakujący kąt: $\gamma = 180°-\alpha-\beta$
2. Ustaw proporcję z dwóch znanych wielkości: $\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}$
3. Wyraź szukane: $b = a\cdot\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}$

Przykład

Trójkąt: $a=8$, $\alpha=45°$, $\beta=60°$. Znajdź $b$.

1. $b = \frac{8\cdot\sin60°}{\sin45°} = \frac{8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{6}\approx9{,}8$

⚠️ Częsty błąd: Bok i kąt muszą być naprzeciwległe! $a$ leży naprzeciwko $\alpha$, nie obok niego.

Jeżeli prosta przecina dwa boki trójkąta (lub ich przedłużenia) równolegle do podstawy, dzieli je w tym samym stosunku. Odwrotnie: jeśli dzieli je w tym samym stosunku, jest równoległa do podstawy. Stosowane do wykazywania równoległości i obliczania długości odcinków.

Do czego służy: Rozwiązywanie układów dwóch równań z dwiema niewiadomymi — klasa 8, matura, zadania tekstowe z dwiema nieznanymi.

Metoda podstawiania

1. Z jednego równania wyraź $y$ przez $x$ (lub odwrotnie)
2. Podstaw do drugiego równania — otrzymasz równanie z jedną niewiadomą
3. Oblicz pierwszą niewiadomą, potem drugą

Metoda przeciwnych współczynników (eliminacji)

1. Pomnóż równania przez takie liczby, żeby współczynniki przy $x$ (lub $y$) były przeciwne
2. Dodaj równania stronami — jedna niewiadoma znika
3. Oblicz pozostałą niewiadomą

Metoda wyznacznikowa (Cramera)

$$W = \begin{vmatrix}a_1 & b_1\a_2 & b_2\end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1$$

$$x = \frac{W_x}{W} = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{W}, \quad y = \frac{W_y}{W} = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{W}$$

Przykład (podstawianie)

$\begin{cases}2x + y = 7\x - y = 2\end{cases}$

1. Z II równania: $y = x - 2$
2. Podstaw do I: $2x + (x-2) = 7 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$
3. $y = 3 - 2 = 1$

⚠️ Częsty błąd: Sprawdź wynik — podstaw $x$ i $y$ do obu równań. Jeden błąd rachunkowy psuje wszystko.

Do czego służy: Mierzenie jak bardzo dane są rozrzucone wokół średniej. Im większe $s$, tym dane bardziej zróżnicowane.

Krok po kroku

1. Oblicz średnią $\bar{x}$
2. Dla każdej wartości: $(x_i-\bar{x})^2$
3. Uśrednij kwadraty: $s^2=\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n}$
4. Pierwiastek: $s=\sqrt{s^2}$

Przykład

Dane: 2, 4, 4, 6. $\bar{x}=4$.

1. Kwadraty: $4,0,0,4$; suma=8
2. $s^2=8/4=2$; $s=\sqrt{2}\approx1{,}41$

⚠️ Częsty błąd: Mniejsze $s$ = dane skupione bliżej średniej (bardziej jednorodne), nie że coś jest „małe".

Wartość oczekiwana to średnia ważona wartości zmiennej. Wariancja mierzy rozproszenie. Odchylenie standardowe: $\sigma=\sqrt{D^2(X)}$. Własności liniowe: $E(aX+b)=aE(X)+b$, $D^2(aX+b)=a^2 D^2(X)$.

Do czego służy: Dokładne wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów 0°, 30°, 45°, 60°, 90° — do obliczeń bez kalkulatora.

Tabela wartości

Jak zapamiętać sinusy?

Kolejność: $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ odpowiada sinusom $\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$ — to $0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1$. Cosinusy to sinusy w odwrotnej kolejności.

Przykład

Pole trójkąta równobocznego o boku $a = 4$:

1. $P = \frac{1}{2} a^2 \sin 60° = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$

⚠️ Częsty błąd: $\sin 30° = \frac{1}{2}$, a $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (nie odwrotnie!). Sinus jest mniejszy dla małych kątów.

Trójkąty są podobne gdy: (kkk) wszystkie trzy stosunki boków są równe; (kk) dwa kąty są równe (trzeci też — suma kątów); (bkb) dwa boki proporcjonalne i zawarty kąt równy. Podobieństwo daje równe kąty i proporcjonalne boki, pola w stosunku $k^2$, objętości brył $k^3$.

Wielokąt foremny $n$-kątny o boku $a$: $R$ — promień okręgu opisanego, $r$ — wpisanego, $r=R\cos(\pi/n)$. Pole: $P=\frac{1}{2}nR^2\sin(2\pi/n)$. Dla $n\to\infty$: $r\to R$, $P\to\pi R^2$ (okrąg). Przykłady: trójkąt $R=a\sqrt{3}/3$; kwadrat $R=a\sqrt{2}/2$; sześciokąt $R=a$, $r=a\sqrt{3}/2$.

Pięć wielościanów platońskich: czworościan (4), sześcian (6), ośmiościan (8), dwunastościan (12), dwudziestościan (20 ścian). Wzór Eulera: $V-E+F=2$. Dualność: sześcian↔ośmiościan, dwunastościan↔dwudziestościan, czworościan↔sam sobie. Sfery opisane i wpisane: dla sześcianu $R=a\sqrt{3}/2$, $r=a/2$.

Punkt przegięcia: $x_0$ gdzie $f''$ zmienia znak (niekoniecznie $f''(x_0)=0$, choć często). Funkcja wypukła ($f'' > 0$) leży powyżej stycznych — kształt $\cup$. Wklęsła ($f''<0$) — poniżej stycznych, kształt $\cap$. Nierówność Jensena: dla funkcji wypukłej $f\!\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$.

Mierzy siłę i kierunek liniowego związku między zmiennymi. $r=1$: doskonała korelacja dodatnia; $r=-1$: ujemna; $r=0$: brak korelacji liniowej. Uwaga: korelacja $\ne$ przyczynowość. Determinacja: $r^2$ = odsetek wariancji $y$ wyjaśnionej przez $x$.

Punkt $(r,\varphi)$: odległość od bieguna i kąt od osi $OX$. Przykłady krzywych: okrąg $r=a$, kardioda $r=a(1+\cos\varphi)$, spirala Archimedesa $r=a\varphi$, lemniskata Bernoulliego $r^2=a^2\cos2\varphi$. Pole obszaru biegunowego: $A=\frac{1}{2}\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}r^2\,d\varphi$. Długość łuku: $L=\int\sqrt{r^2+r'^2}\,d\varphi$.

Każdą sumę $a\sin x+b\cos x$ możemy zapisać jako jedną funkcję sinusoidalną o amplitudzie $R=\sqrt{a^2+b^2}$ i przesunięciu fazowym $\varphi$. Alternatywnie: $R\cos(x-\psi)$ gdzie $\tan\psi=a/b$. Zastosowanie: wyznaczanie extremów, rozwiązywanie równań trygonometrycznych.

Do czego służy: Wyróżnik delta mówi, ile rozwiązań ma równanie kwadratowe — oblicz go jako pierwszy krok, zanim zaczniesz szukać pierwiastków.

Zmienne

• $a$ — współczynnik przy $x^2$ (musi być $\neq 0$)
• $b$ — współczynnik przy $x$
• $c$ — wyraz wolny (liczba bez $x$)

Kiedy używać?

Zawsze gdy masz równanie postaci $ax^2 + bx + c = 0$. Obliczenie delty to krok 1 — wynik decyduje, co robisz dalej.

Jak stosować

1. Doprowadź równanie do postaci $ax^2 + bx + c = 0$ (wszystko na lewą stronę)
2. Odczytaj $a$, $b$, $c$ ze współczynników
3. Podstaw i oblicz: $\Delta = b^2 - 4ac$
4. Odczytaj wynik: $\Delta > 0$ → 2 pierwiastki | $\Delta = 0$ → 1 pierwiastek podwójny | $\Delta < 0$ → brak rozwiązań rzeczywistych

Przykład

Ile rozwiązań ma $2x^2 - 5x + 3 = 0$?

1. Odczytujemy: $a=2$, $b=-5$, $c=3$
2. Liczymy: $\Delta = (-5)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 25 - 24 = 1$
3. $\Delta = 1 > 0$ → dwa różne pierwiastki rzeczywiste

⚠️ Częsty błąd: $(-5)^2 = 25$, nie $-25$! Kwadrat liczby ujemnej jest zawsze dodatni. Zawsze stawiaj nawias: $(b)^2$.

Wzór Bayesa odwraca warunkowanie: mając $P(A|B_i)$ wyznacza $P(B_i|A)$. $P(B_i)$ — prawdopodobieństwo a priori, $P(B_i|A)$ — a posteriori. Zastosowania: diagnostyka medyczna, filtrowanie spamu, wnioskowanie bayesowskie.

Wynika z rozwinięć Maclaurina: podstawiamy $i\varphi$ do $e^x=\sum(i\varphi)^n/n!$ i grupujemy człony rzeczywiste i urojone. Tożsamość Eulera $e^{i\pi}+1=0$ łączy $e$, $i$, $\pi$, $1$, $0$. Zastosowanie: postać trygonometryczna l. zespolonych, wzór de Moivre'a, transformata Fouriera, phasory w elektrotechnice.

Charakterystyka Eulera $\chi$: niezmiennik topologiczny — ta sama dla wszystkich wielościanów homeomorficznych z daną powierzchnią. Sfera: $\chi=2$; torus: $\chi=0$; powierzchnia rodzaju $g$: $\chi=2-2g$. Dla sześcianu: $8-12+6=2$; ostrosłup $n$-kątny: $(n+1)-2n+(n+1)=2$. Zastosowanie: topologia, krystalografia, analiza sieci.

Do czego służy: Podaje dokładne wartości obu rozwiązań każdego równania kwadratowego po obliczeniu delty.

Zmienne

• $a$ — współczynnik przy $x^2$; $b$ — przy $x$; $c$ — wyraz wolny
• $\Delta$ — wyróżnik: $\Delta = b^2 - 4ac$
• $x_1, x_2$ — dwa pierwiastki (rozwiązania)

Kiedy używać?

Po obliczeniu delty, gdy $\Delta \geq 0$. Gdy $\Delta = 0$, oba wzory dają ten sam wynik: $x = \frac{-b}{2a}$.

Jak stosować

1. Oblicz $\Delta = b^2 - 4ac$ (upewnij się że $\Delta \geq 0$)
2. Oblicz $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ (minus przed pierwiastkiem)
3. Oblicz $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ (plus przed pierwiastkiem)
4. Sprawdź: podstaw $x_1$ i $x_2$ do oryginalnego równania — powinno wyjść 0

Przykład

Rozwiąż $x^2 - 5x + 6 = 0$.

1. $a=1$, $b=-5$, $c=6$
2. $\Delta = 25 - 24 = 1$, $\sqrt{\Delta}=1$
3. $x_1 = \frac{5-1}{2} = 2$, \quad $x_2 = \frac{5+1}{2} = 3$
4. Sprawdzenie: $4-10+6=0\checkmark$, \quad $9-15+6=0\checkmark$

⚠️ Częsty błąd: Dzielnik to $2a$, nie $2$! Gdy $a=3$ dzielisz przez 6, nie przez 2. Mianownik obejmuje całe wyrażenie $-b \pm \sqrt{\Delta}$.

Silnia podwójna: $n!!=n\cdot(n-2)\cdot(n-4)\cdots$. Wzór rekurencyjny: $I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$. Przykłady: $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,dx=\frac{3\cdot1}{4\cdot2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{16}$; $\int_0^{\pi/2}\sin^5 x\,dx=\frac{4\cdot2}{5\cdot3\cdot1}=\frac{8}{15}$. Iloczyn Wallisa: $\frac{\pi}{2}=\prod_{k=1}^\infty\frac{4k^2}{4k^2-1}$.

Wersje dla cosinusa: $\cos 2\alpha=2\cos^2\!\alpha-1=1-2\sin^2\!\alpha$. Dla tangensa: $\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\!\alpha}$. Wzory stosowane do upraszczania wyrażeń i całkowania.

Wynikają z wzorów na kąt podwójony przez podstawienie $\alpha\to\frac{\alpha}{2}$. Dla tangensa: $\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Używane do obliczania wartości np. $\sin 15°$, $\cos 22{,}5°$.

Wynikają z wzorów na kąt podwojony: $\sin3x=\sin(2x+x)=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x$. Uogólnienie: wielomiany Czebyszewa $T_n(x)$, gdzie $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$. Zastosowanie: całkowanie $\int\sin^3 x\,dx$ — zastąpienie $(3\sin x-\sin3x)/4$; rozwiązywanie równań trygonometrycznych stopnia 3.

Do czego służy: Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dla sum i różnic kątów, w tym kątów 15°, 75° itp.

Pełny zestaw wzorów

• $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
• $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$
• $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
• $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$

Wzory na kąt podwójny ($\alpha=\beta$)

• $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
• $\cos2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha = 1-2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha-1$

Przykład — wartość sin 75°

1. $\sin75° = \sin(45°+30°) = \sin45°\cos30°+\cos45°\sin30°$
2. $= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

⚠️ Częsty błąd: W $\cos(\alpha+\beta)$ jest MINUS między iloczynami, a w $\sin(\alpha+\beta)$ — PLUS. Dla cosinusa: różnica iloczynów!

Analog wzorów addycyjnych dla tangensa i cotangensa. Cotangens: $\cot(\alpha\pm\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta\mp1}{\cot\beta\pm\cot\alpha}$. Wzory na podwójenie: $\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$. Zastosowanie: upraszczanie wyrażeń, obliczanie tangensa sum kątów np. $\tan 75°=\tan(45°+30°)$.

Wzory zamieniające iloczyn funkcji trygonometrycznych na sumę. Analogicznie: $2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)$, $2\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)$. Stosowane do upraszczania iloczynów przy całkowaniu.

Wzory zamieniające sumę (lub różnicę) funkcji trygonometrycznych na iloczyn. Analogicznie: $\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$, $\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$. Przydatne przy całkowaniu.

Do czego służy: Sprowadzanie trygonometrii dowolnych kątów do kątów ostrych — niezbędne przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych i pracy z kątami >90°.

Kluczowe wzory

• Kąt dopełniający ($90°-\alpha$): sinus ↔ cosinus zamieniają się: $\sin(90°-\alpha)=\cos\alpha$, $\cos(90°-\alpha)=\sin\alpha$
• II ćwiartka ($180°-\alpha$): $\sin(180°-\alpha)=\sin\alpha$, $\cos(180°-\alpha)=-\cos\alpha$
• III ćwiartka ($180°+\alpha$): $\sin(180°+\alpha)=-\sin\alpha$, $\cos(180°+\alpha)=-\cos\alpha$
• Kąt ujemny: $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$, $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$
• Obrót o $360°$: $\sin(\alpha+360°)=\sin\alpha$ (funkcje są okresowe)

Jak stosować

1. Zapisz kąt jako $90°\pm\alpha$, $180°\pm\alpha$ lub $360°\pm\alpha$
2. Przy $\pm 90°$: sinus ↔ cosinus (zamiana)
3. Przy $\pm 180°$ lub $\pm 360°$: funkcja zostaje ta sama
4. Ustal znak z ćwiartki układu

Przykład

Oblicz $\cos 120°$.

1. $\cos 120° = \cos(180°-60°) = -\cos 60° = -\frac{1}{2}$

⚠️ Częsty błąd: Przy $90°\pm\alpha$ funkcja się zamienia (sin→cos), przy $180°\pm\alpha$ zostaje ta sama. Nie mylić tych dwóch reguł!

Do czego służy: Błyskawiczne mnożenie i rozkładanie wyrażeń algebraicznych — bez żmudnego mnożenia nawiasów.

Wszystkie wzory

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ — kwadrat sumy
• $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — kwadrat różnicy
• $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ — różnica kwadratów (rozkład!)
• $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ — sześcian sumy
• $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ — sześcian różnicy
• $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ — suma sześcianów
• $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ — różnica sześcianów

Kiedy używać?

Gdy widzisz: kwadrat/sześcian nawiasu → rozwiń. Różnicę kwadratów → rozłóż na czynniki. Upraszczanie ułamków algebraicznych — rozkład na czynniki jest kluczowy.

Jak stosować

1. Zidentyfikuj wzorzec: czy masz $(...)^2$, $(...)^3$, czy różnicę kwadratów?
2. Podstaw $a$ = pierwsza część, $b$ = druga część
3. Rozwiń lub rozłóż według wybranego wzoru

Przykład

Uprość: $\frac{x^2-9}{x-3}$

1. Rozpoznajemy: $x^2-9 = x^2-3^2 = (x-3)(x+3)$ (różnica kwadratów, $a=x$, $b=3$)
2. $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3$ (dla $x\neq 3$)

⚠️ Częsty błąd: $(a+b)^2 \neq a^2+b^2$! Środkowy wyraz $2ab$ jest niezbędny. Sprawdź liczbą: $(3+4)^2=49$, ale $9+16=25$.

Do czego służy: Pozwala sprawdzić obliczone pierwiastki albo znaleźć wymagane wyrażenia (np. $x_1^2+x_2^2$) bez liczenia pierwiastków wprost.

Zmienne

• $x_1, x_2$ — pierwiastki równania $ax^2+bx+c=0$
• $a,b,c$ — współczynniki (tak samo jak w delcie)

Kiedy używać?

• Sprawdzenie: po obliczeniu $x_1, x_2$ sprawdź czy $x_1+x_2=-b/a$ i $x_1\cdot x_2=c/a$
• Obliczanie wyrażeń symetrycznych: $x_1^2+x_2^2$, $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ itp.
• Układanie równania o znanych pierwiastkach: $(x-x_1)(x-x_2)=0$

Przydatne przekształcenia

• $x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2$
• $(x_1-x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1 x_2$
• $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1 x_2}$

Przykład

Dla $x^2-5x+6=0$: suma $= 5$, iloczyn $= 6$. Oblicz $x_1^2+x_2^2$.

1. $x_1+x_2 = 5$, $x_1 x_2 = 6$
2. $x_1^2+x_2^2 = 5^2 - 2\cdot 6 = 25 - 12 = 13$

⚠️ Częsty błąd: Suma pierwiastków to $-b/a$, nie $b/a$ — uwaga na znak minus!