Matematyka
Klasa 4 LO › Symbol Newtona i dwumian Newtona
Σ Matematyka
Symbol Newtona i dwumian Newtona
Symbol Newtona i dwumian Newtona
\[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},\qquad \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k},\qquad
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\]
Teoria i zastosowanie
Co robi: rozwija potęgę dwumianu na sumę składników; współczynniki to kolejne wiersze trójkąta Pascala.
Elementy: $\binom{n}{k}$ — symbol Newtona (liczba $k$-elementowych podzbiorów zbioru $n$-elementowego). Wyraz o numerze $k+1$ w rozwinięciu to $\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.
Przykład: $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$ — współczynniki $1,4,6,4,1$ to piąty wiersz trójkąta Pascala.
Pułapka: suma wykładników w każdym składniku zawsze wynosi $n$ — to szybki test poprawności. Przyjmujemy $0!=1$ i $\binom{n}{0}=1$.
Kombinatoryka › Symbol Newtona i dwumian Newtona