Matematyka
Klasa 3 LO › Obliczanie granic funkcji
Σ Matematyka
Obliczanie granic funkcji
Granica ilorazu wielomianów w nieskończoności
\[\lim_{x\to\infty}\frac{a_nx^n+\ldots}{b_mx^m+\ldots}=
\begin{cases}0 & n<m\[2pt] \dfrac{a_n}{b_m} & n=m\[4pt] \pm\infty & n>m\end{cases}\]
Teoria i zastosowanie
Co robi: pozwala natychmiast podać granicę ilorazu wielomianów, bez przekształceń — decyduje samo porównanie stopni.
Elementy: $n$ — stopień licznika, $m$ — mianownika, $a_n$ i $b_m$ — współczynniki wiodące. Znak nieskończoności zależy od znaków tych współczynników.
Przykład: $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2x^2+1}{x^2-3}=\frac21=2$; $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x+2}{x^2+1}=0$; $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^3}{x}=\infty$.
Dlaczego działa: dzieląc licznik i mianownik przez $x^m$, wszystkie składniki niższego stopnia dążą do zera.
Pułapka: reguła dotyczy granic w nieskończoności. W granicy w punkcie skończonym trzeba podstawić, a przy symbolu $\frac00$ — rozłożyć na czynniki i skrócić.
Klasa 3 LO › Rachunek różniczkowy
Rachunek różniczkowy › Obliczanie granic funkcji