Klasa 3 LO › Iloczyn skalarny wektorów
Iloczyn skalarny i kąt między wektorami
Teoria i zastosowanie
Co robi: pozwala policzyć kąt między wektorami oraz natychmiast rozstrzygnąć, czy są prostopadłe.
Elementy: $u_1$, $u_2$ to współrzędne wektora, $\alpha$ — kąt między wektorami. Wynikiem jest liczba, nie wektor.
Co mówi znak: dodatni — kąt ostry, zero — kąt prosty, ujemny — kąt rozwarty. Długości są zawsze dodatnie, więc o znaku decyduje wyłącznie $\cos\alpha$.
Warunek prostopadłości: $\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\circ\vec{v}=0$. Przykład: $[3,\,4]$ i $[-8,\,6]$ są prostopadłe, bo $-24+24=0$.
Kąt: $\cos\alpha=\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$. Dla $[1,\sqrt3]$ i $[\sqrt3,1]$ iloczyn wynosi $2\sqrt3$, obie długości po $2$, więc $\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}$ i $\alpha=30^\circ$.
Przydatna tożsamość: $\vec{u}\circ\vec{u}=|\vec{u}|^2$, bo kąt wektora z samym sobą wynosi $0^\circ$.
Pułapka: nie myl z „mnożeniem po współrzędnych” dającym wektor — iloczyn skalarny daje liczbę. Przy wyznaczaniu wektora z dwóch punktów zawsze odejmuj początek od końca: $\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]$.
Iloczyn skalarny wektorów (klasa 3 LO)
Teoria i zastosowanie
Co robi: liczy iloczyn skalarny i wiąże go z kątem między wektorami.
Elementy: wektory prostopadłe mają iloczyn skalarny równy $0$.
Przykład: $[2,3]\cdot[4,-1]=8-3=5$.