Klasa 3 LO › Ekstrema funkcji
Warunek istnienia ekstremum lokalnego
Teoria i zastosowanie
Co robi: podaje pełny warunek na ekstremum — samo zerowanie się pochodnej to za mało.
Rodzaj ekstremum: gdy pochodna zmienia znak z $+$ na $-$, mamy maksimum; z $-$ na $+$ — minimum.
Dlaczego zerowanie nie wystarcza: dla $f(x)=x^3$ mamy $f'(0)=0$, ale pochodna $3x^2$ jest dodatnia po obu stronach zera. Funkcja cały czas rośnie, a w punkcie $x=0$ ma jedynie przegięcie.
Przykład: $f(x)=x^3-3x$ ma $f'(x)=3(x-1)(x+1)$. W $x=-1$ znak zmienia się z $+$ na $-$ (maksimum $2$), w $x=1$ z $-$ na $+$ (minimum $-2$).
Ekstremum globalne na przedziale domkniętym: porównujemy wartości w punktach krytycznych oraz na końcach przedziału. Wartość skrajna często wypada właśnie na brzegu, gdzie pochodna się nie zeruje.
W zadaniach optymalizacyjnych pamiętaj o dziedzinie wynikającej z sensu zadania — potrafi ona odrzucić pierwiastek, który formalnie wychodzi z rachunku. Przy pudełku z blachy $12\times12$ pochodna zeruje się dla $x=2$ i $x=6$, ale $x=6$ odpada, bo podstawa miałaby wtedy bok zerowy.
Pułapka: uznanie każdego punktu krytycznego za ekstremum oraz pominięcie końców przedziału przy szukaniu wartości największej.