Matematyka
Klasa 3 LO › Ciągłość funkcji
Σ Matematyka
Ciągłość funkcji
Warunek ciągłości funkcji w punkcie
\[f\ \text{ciągła w } x_0 \iff \lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)\]
Teoria i zastosowanie
Co robi: podaje pełne kryterium ciągłości — wszystkie trzy wielkości muszą istnieć i być równe.
Elementy: granica lewostronna, prawostronna i wartość funkcji w punkcie. Wypadnięcie któregokolwiek warunku oznacza nieciągłość.
Przykład: funkcja sklejona $f(x)=x+1$ dla $x<2$ oraz $f(x)=3x-3$ dla $x\ge2$ jest ciągła w $x_0=2$, bo obie granice i wartość wynoszą $3$.
Zastosowanie: w zadaniach z parametrem przyrównujemy granice jednostronne i wyznaczamy szukaną wartość.
Pułapka: istnienie granicy nie wystarcza. Funkcja $f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$ ma w $x_0=3$ granicę równą $6$, ale nie jest tam ciągła — bo $f(3)$ w ogóle nie istnieje.
Klasa 3 LO › Rachunek różniczkowy
Rachunek różniczkowy › Ciągłość funkcji