Matematyka
Klasa 2 LO › Okrąg opisany na trójkącie
Σ Matematyka
Okrąg opisany na trójkącie
Okrąg opisany i wpisany w trójkąt
\[R=\frac{abc}{4P},\qquad r=\frac{P}{s},\qquad s=\frac{a+b+c}{2}\]
Teoria i zastosowanie
Co robi: wyznacza promienie okręgu opisanego na trójkącie i wpisanego w niego, gdy znamy boki i pole.
Elementy: $R$ — promień okręgu opisanego (środek na przecięciu symetralnych boków), $r$ — promień wpisanego (środek na przecięciu dwusiecznych kątów), $P$ — pole, $s$ — połowa obwodu.
Przykład: trójkąt $3,4,5$: $P=6$, $s=6$. Wtedy $R=\frac{3\cdot4\cdot5}{24}=2{,}5$ (czyli połowa przeciwprostokątnej ✔) oraz $r=\frac{6}{6}=1$.
Pułapka: środek okręgu opisanego może leżeć poza trójkątem — dzieje się tak przy kącie rozwartym. Środek wpisanego zawsze leży wewnątrz.
Planimetria › Okrąg opisany na trójkącie