Klasa 2 LO › Okrąg opisany na czworokącie
Rozpoznawanie czworokątów wpisanych i opisanych — przypadki szczególne
Teoria i zastosowanie
Co robi: pozwala od razu rozstrzygnąć, który okrąg istnieje dla typowego czworokąta, bez sprawdzania warunków ogólnych.
Skąd te wnioski: w prostokącie wszystkie kąty mają $90^\circ$, więc przeciwległe zawsze sumują się do $180^\circ$. W rombie wszystkie boki są równe, więc warunek $a+c=b+d$ zachodzi automatycznie. Kwadrat spełnia oba naraz.
Promienie w kwadracie o boku $a$: $R=\frac{a\sqrt2}{2}$ (średnicą jest przekątna) oraz $r=\frac{a}{2}$ (średnicą jest bok), a więc $\frac{R}{r}=\sqrt2$.
Trapez równoramienny: okrąg opisać można zawsze, ale wpisać tylko gdy suma podstaw równa się sumie ramion. Trapez o podstawach $4$ i $10$ oraz ramionach po $7$ warunek spełnia, bo $4+10=7+7$.
Pułapka: te dwa warunki są od siebie niezależne. Prostokąt niebędący kwadratem ma okrąg opisany, ale nie wpisany; romb niebędący kwadratem — odwrotnie. Sama równoramienność czy „regularny wygląd” figury niczego nie przesądza.
Warunki wpisania i opisania okręgu na czworokącie
Teoria i zastosowanie
Co robi: podaje kryteria, kiedy na czworokącie da się opisać okrąg i kiedy da się w niego okrąg wpisać.
Elementy: na czworokącie można opisać okrąg, gdy sumy kątów przeciwległych wynoszą $180^\circ$; można wpisać okrąg, gdy sumy przeciwległych boków są równe (twierdzenie Pitota).
Przykład: w każdym prostokącie kąty przeciwległe dają $90^\circ+90^\circ=180^\circ$ — okrąg opisany zawsze istnieje. Ale okrąg wpisany tylko wtedy, gdy $a+c=b+d$, czyli gdy to kwadrat.
Pułapka: te dwa warunki są niezależne. Czworokąt może mieć okrąg opisany i nie mieć wpisanego (prostokąt niebędący kwadratem) — i odwrotnie (romb niebędący kwadratem).