Klasa 2 LO › Nierówności wielomianowe
Krzywa znaków — nierówności wielomianowe i wymierne
Teoria i zastosowanie
Co robi: sprowadza nierówność wymierną do wielomianowej, którą rozwiązuje się jedną metodą — krzywą znaków na osi liczbowej.
Elementy: $L(x)$ to licznik, $M(x)$ — mianownik. Ułamek ma zawsze taki sam znak jak iloczyn licznika i mianownika, bo dzielenie i mnożenie rządzą się tą samą regułą znaków.
Jak rysować krzywą: zaznaczamy pierwiastki na osi i prowadzimy krzywą od prawej strony z góry (gdy współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni). W pierwiastku jednokrotnym krzywa przecina oś, w dwukrotnym tylko jej dotyka.
Przykład: $\frac{x-2}{x+1} > 0$ sprowadzamy do $(x-2)(x+1) > 0$, skąd $x \in (-\infty,-1) \cup (2,+\infty)$.
Nawiasy: pierwiastki licznika domykamy przy nierówności nieostrej, ale pierwiastki mianownika zostają wyłączone zawsze. Dlatego $\frac{x}{x-3} \ge 0$ daje $x \in (-\infty,\,0\rangle \cup (3,+\infty)$.
Pułapka: mnożenie nierówności przez mianownik z niewiadomą. Nie znamy jego znaku, a mnożenie przez liczbę ujemną odwraca zwrot nierówności. Zamiast tego przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika.
Nierówności wielomianowe — metoda siatki znaków
Teoria i zastosowanie
Co robi: wyznacza zbiór rozwiązań nierówności wielomianowej metodą graficzną („wężyka”).
Elementy: rozkładamy wielomian na czynniki, zaznaczamy pierwiastki na osi i rysujemy krzywą od prawej góry (gdy $a>0$). Przy pierwiastku o krotności nieparzystej krzywa przechodzi przez oś, przy parzystej — odbija się.
Przykład: $(x-1)(x+2)^2(x-4)>0$: pierwiastki $-2$ (krotność 2, odbicie), $1$ i $4$ (przejścia). Rozwiązanie: $x\in(-\infty,-2)\cup(-2,1)\cup(4,+\infty)$.
Pułapka: pierwiastek podwójny nie zmienia znaku, ale nadal jest miejscem zerowym — przy nierówności ostrej trzeba go wykluczyć ze zbioru rozwiązań.