Baza wzorów matematyki i fizyki

Co robi: pozwala odczytać rozwiązanie nierówności kwadratowej ze szkicu paraboli, bez zgadywania.

Elementy: $x_1$ i $x_2$ to miejsca zerowe trójmianu, a znak $a$ decyduje o kierunku ramion.

Reguła dla $a>0$: parabola jest pod osią między miejscami zerowymi, a nad osią na zewnątrz. Dla $a<0$ obszary zamieniają się miejscami.

Przykład: $x^2-5x+6\ge0$ ma miejsca zerowe $2$ i $3$, a $a=1>0$, więc rozwiązaniem jest $(-\infty,\,2\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$.

Gdy $\Delta<0$: parabola nie przecina osi — dla $a>0$ cała leży nad nią (np. $x^2+1>0$ zachodzi zawsze), a dla $a<0$ pod nią.

Pułapka: nierówność $x^2\le9$ to nie $x\le3$ — brakuje ograniczenia od dołu, poprawnie $x\in\langle -3,\,3\rangle$. Przy dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną odwracamy znak.

Co robi: wyznacza zbiór rozwiązań nierówności kwadratowej na podstawie szkicu paraboli.

Elementy: obliczamy $\Delta$ i miejsca zerowe, szkicujemy parabolę (ramiona wg znaku $a$) i odczytujemy, gdzie leży nad/pod osią. Dla $a>0$ i $\Delta>0$: nierówność $>0$ daje $(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)$, a $<0$ daje $(x_1,x_2)$.

Przykład: $x^2-4<0$: miejsca zerowe $\pm 2$, ramiona w górę, poniżej osi między nimi — rozwiązanie $x\in(-2,2)$.

Pułapka: gdy $\Delta<0$ i $a>0$, parabola jest cała nad osią: nierówność $>0$ spełnia każde $x$, a $<0$ — żadne. Nie „brak delty” oznacza brak rozwiązań, tylko trzeba spojrzeć na wykres.