Baza wzorów matematyki i fizyki

Co robi: pozwala od razu odczytać asymptoty przesuniętej hiperboli i naszkicować jej wykres.

Elementy: $p$ to przesunięcie poziome, $q$ — pionowe. Wykres to hiperbola $\tfrac1x$ przesunięta o wektor $[p,\ q]$.

Asymptoty: pionowa $x=p$ (miejsce zerowania mianownika, poza dziedziną) i pozioma $y=q$ (wartość nieosiągalna).

Sprowadzanie do tej postaci: w liczniku odtwarzamy mianownik i dzielimy: $\tfrac{2x+1}{x+1}=\tfrac{2(x+1)-1}{x+1}=2-\tfrac{1}{x+1}$, więc asymptoty to $x=-1$ i $y=2$.

Pułapka: asymptota pionowa to $x=p$, a nie $x=-p$ — bierzemy miejsce, w którym mianownik $x-p$ się zeruje.

Co robi: opisuje iloraz dwóch funkcji liniowych — wykresem jest hiperbola przesunięta względem osi układu.

Elementy: asymptota pionowa tam, gdzie zeruje się mianownik; pozioma na wysokości ilorazu współczynników przy $x$. Warunek $ad-bc\ne 0$ gwarantuje, że funkcja nie redukuje się do stałej.

Przykład: $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$: asymptota pionowa $x=3$, pozioma $y=2$, dziedzina $\mathbb{R}\setminus\{3\}$.

Pułapka: gdy $ad-bc=0$, licznik jest wielokrotnością mianownika i funkcja jest stała poza punktem nieciągłości — to nie jest wtedy hiperbola.