Klasa 1 LO › Wzory skróconego mnożenia
Wzory skróconego mnożenia — kwadraty i różnica kwadratów
Teoria i zastosowanie
Co robi: pozwala szybko rozwijać nawiasy, a czytany od prawej do lewej — rozkładać wyrażenia na czynniki.
Elementy: $a$, $b$ to dowolne wyrażenia — liczby, litery lub całe jednomiany.
Przykłady rozwijania: $(x+3)^2=x^2+6x+9$ oraz $(2x-5)^2=4x^2-20x+25$.
Przykłady rozkładu: $x^2-49=(x-7)(x+7)$ oraz $x^2-10x+25=(x-5)^2$.
Sprytne rachunki: $102^2=10\,000+400+4=10\,404$, $97\cdot103=10\,000-9=9991$, $51\cdot49=2500-1=2499$.
Przydatne przekształcenie: $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$. Znając $a+b=7$ i $ab=10$, dostajemy $a^2+b^2=49-20=29$ bez wyznaczania samych liczb.
Pułapka: $(a+b)^2\neq a^2+b^2$ — brakuje wyrazu $2ab$. I pamiętaj, że do kwadratu podnosimy cały jednomian: $(2x)^2=4x^2$, nie $2x^2$.
Wzory skróconego mnożenia — pełny zestaw
Teoria i zastosowanie
Co robi: pozwala szybko rozwinąć potęgę sumy i rozłożyć wyrażenie na czynniki bez mnożenia nawiasów.
Elementy: $a$, $b$ — dowolne wyrażenia. W rozkładzie sumy/różnicy sześcianów drugi nawias ma znak przeciwny do pierwszego przy wyrazie $ab$ (stąd $\mp$).
Przykład: $(x-3)^3=x^3-9x^2+27x-27$; $x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$; $4x^2-25=(2x-5)(2x+5)$.
Pułapka: $a^2+b^2$ nie rozkłada się nad liczbami rzeczywistymi, ale $a^3+b^3$ już tak — łatwo je pomylić. Trójmian $a^2-ab+b^2$ w drugim nawiasie ma ujemny wyróżnik, więc dalej się nie rozkłada.