Klasa 1 LO › Pierwiastek kwadratowy
Działania na pierwiastkach kwadratowych
Teoria i zastosowanie
Co robi: pozwala mnożyć, dzielić i upraszczać wyrażenia z pierwiastkami bez przybliżeń dziesiętnych.
Elementy: $a\ge 0$, $b>0$ przy dzieleniu. Wyłączanie czynnika przed pierwiastek: szukamy największego kwadratu w liczbie podpierwiastkowej.
Przykład: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$; $\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6$; $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3$.
Pułapka: $\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}$ — sprawdź: $\sqrt{9+16}=5$, ale $3+4=7$. Pamiętaj też $\sqrt{a^2}=|a|$, nie $a$: $\sqrt{(-5)^2}=5$.
Usuwanie niewymierności z mianownika
Teoria i zastosowanie
Co robi: przekształca ułamek tak, by w mianowniku nie było pierwiastka — wymagana postać odpowiedzi w wielu zadaniach.
Elementy: dla jednego pierwiastka mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt{b}$. Dla sumy dwóch pierwiastków mnożymy przez sprzężenie $(\sqrt{b}-\sqrt{c})$ i korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów.
Przykład: $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$; $\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$.
Pułapka: przy sprzężeniu zmieniamy tylko znak między pierwiastkami, nie znaki wewnątrz. Sprzężeniem $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ jest $\sqrt{5}+\sqrt{3}$.