Kąt \(α\) jest ostry i \(cosα=\frac{3}{7}\). Wtedy:

A \(sinα=\frac{2\sqrt{10}}{7}\)
B \(sinα=\frac{\sqrt{10}}{7}\)
C \(sinα=\frac{4}{7}\)
D \(sinα=\frac{3}{7}\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Zadanie można rozwiązać na wiele sposobów. W skrajnych przypadkach można byłoby nawet zamienić na kalkulatorze wartość \(\frac{3}{7}\) na ułamek dziesiętny i sprawdzić w tablicach dla jakiego mniej więcej kąta ta wartość odpowiada, po czym analogicznie można byłoby przyrównać funkcje trygonometryczne z odpowiedzi \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) i sprawdzić która z nich przyjmie tą samą wartość. Można byłoby też narysować trójkąt prostokątny i zaznaczyć tam długości boków - \(3x\) dla przyprostokątnej przy kącie oraz \(7x\) dla przeciwprostokątnej, a następnie z Twierdzenia Pitagorasa wyliczyć długość drugiej przyprostokątnej, która posłuży nam do wyliczenia sinusa. Nie mniej jednak najbardziej uniwersalnym i najszybszym sposobem jest wykorzystanie tzw. "jedynki trygonometrycznej", czyli \(sin^2α+cos^2α=1\). Krok 1. Obliczenie wartości sinusa z jedynki trygonometrycznej. $$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\ sin^2α+\left(\frac{3}{7}\right)^2=1 \           ,\ sin^2α+\frac{9}{49}=1 \quad\bigg/-\frac{9}{49} \           ,\ sin^2α=\frac{40}{49} \           ,\ sinα=\sqrt{\frac{40}{49}} \quad\lor\quad sinα=-\sqrt{\frac{40}{49}}$$ Krok 2. Analiza otrzymanych wyników i wskazanie poprawnej odpowiedzi. Skoro kąt jest ostry, to wartość ujemną musimy odrzucić, bo sinus dla kątów ostrych przyjmuje tylko wartości dodatnie. To oznacza, że jedynym pasującym rozwiązaniem będzie \(sinα=\sqrt{\frac{40}{49}}\). Takiej odpowiedzi nie mamy, zatem ten zapis musimy jeszcze uprościć: $$sinα=\sqrt{\frac{40}{49}} \           ,\ sinα=\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{49}} \           ,\ sinα=\frac{\sqrt{40}}{7} \           ,\ sinα=\frac{\sqrt{4\cdot10}}{7} \           ,\ sinα=\frac{2\sqrt{10}}{7}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania