Rozwiąż równanie \((x-1)^4-5(x-1)^2+6=0\)

Odpowiedź:      

\(x=\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=-\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=\sqrt{3}+1 \quad\lor\quad x=-\sqrt{3}+1\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie równania kwadratowego. Aby rozwiązać tego typu równanie czwartego stopnia, musimy zapisać, że \(t=(x-1)^2\). Dzięki temu będziemy mogli zapisać równanie z treści zadania jako równanie kwadratowe: $$(x-1)^4-5(x-1)^2+6=0 \           ,\ ((x-1)^2)^2-5(x-1)^2+6=0 \           ,\ t^2-5t+6=0$$ Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Równanie jest zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta: Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=6\) $$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$ $$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2 \           ,\ t_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$ Krok 3. Rozwiązanie równania. W pierwszym kroku zapisaliśmy sobie, że \(t=(x-1)^2\). Wiemy już, że \(t=2\) lub \(t=3\), a skoro tak, to: $$(x-1)^2=2 \quad\lor\quad (x-1)^2=3$$ Otrzymaliśmy dwa równania kwadratowe, w których po prawej stronie nie mamy zera (nie możemy więc przyrównać wartości w nawiasach do zera). Możemy je oczywiście przekształcić do postaci ogólnej i całość obliczyć za pomocą delty, jednak będzie to dość czasochłonne. Tego typu równania najprościej będzie rozwiązać korzystając z wartości bezwzględnej. Pierwiastkując obydwie strony równań, możemy zapisać, że: $$|x-1|=\sqrt{2} \quad\lor\quad |x-1|=\sqrt{3} \           ,\ x-1=\sqrt{2} \quad\lor\quad x-1=-\sqrt{2} \quad\lor\quad x-1=\sqrt{3} \quad\lor\quad x-1=-\sqrt{3} \           ,\ x=\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=-\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=\sqrt{3}+1 \quad\lor\quad x=-\sqrt{3}+1$$

Teoria:      
W trakcie opracowania