Dane jest wyrażenie \(W(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right)\)



Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Wartość wyrażenia \(W(x)\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\).
Wyrażenie \(W(x)\) można przekształcić równoważnie do wyrażenia \(\dfrac{2x}{x^2-1}\).

Wartość wyrażenia \(W(x)\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\).

Odpowiedź:      

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania. Wartości mianowników muszą być różne od zera, zatem \(x-1\neq0\) oraz \(x+1\neq0\). Z pierwszego równania otrzymamy \(x\neq1\), a z drugiego \(x\neq-1\). Pierwsze zdanie jest więc nieprawdą, bo wynika z niego, że moglibyśmy mieć \(x=-1\). Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania. Naszym celem jest uproszczenie podanego wyrażenia. Jak dodać do siebie dwa ułamki, które znajdują się w nawiasach? Musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu licznik oraz mianownik pierwszego ułamka musimy przemnożyć przez \(x+1\), a licznik oraz mianownik drugiego ułamka przez \(x-1\). Całość będzie wyglądać następująco: $$\frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right)= \           ,\ =\frac{1}{2}\left(\frac{(x+1)\cdot(x+1)}{(x-1)\cdot(x+1)}-\frac{(x-1)\cdot(x-1)}{(x+1)\cdot(x+1)}\right)= \           ,\ =\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}-\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}\right)= \           ,\ =\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x+1-(x^2-2x+1)}{x^2-1}\right)= \           ,\ =\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x+1-x^2+2x-1}{x^2-1}\right)= \           ,\ =\frac{1}{2}\left(\frac{4x}{x^2-1}\right)= \           ,\ =\frac{2x}{x^2-1}$$ Zdanie jest więc prawdą.

Teoria:      
W trakcie opracowania