Zwierciadła

Normalną w punkcie $D$ jest promień $DS$. Promień padający jest równoległy do osi, więc kąt padania (mierzony od normalnej) równa się $\alpha=|\angle DSO|$; kąt odbicia też wynosi $\alpha$.

W trójkącie $DSP$ kąty przy $S$ i przy $D$ są równe $\alpha$, więc jest on równoramienny, a z twierdzenia sinusów $|SP|=\dfrac{R\sin\alpha}{\sin 2\alpha}=\dfrac{R}{2\cos\alpha}$.

Ponieważ $|OS|=R$, to $x=|OP|=|OS|-|SP|=R-\dfrac{R}{2\cos\alpha}=R\left(1-\dfrac{1}{2\cos\alpha}\right)$.

(Dla $\alpha\to 0$ otrzymujemy $x\to\dfrac{R}{2}$ — ogniskową zwierciadła.)

Zadanie 7.1 – Analiza obrazu wytworzonego przez soczewkę

Na podstawie rysunku siatkowego (kratka 1 cm) odczytujemy położenia charakterystycznych punktów. Zakładamy, że soczewka jest pionowa, oś optyczna pozioma, a punkty leżą zgodnie z opisem.

1. Krok 1 – Odczyt danych z rysunku

   Na podstawie rysunku odczytujemy (licząc kratki po 1 cm):

   • Przedmiot $AB$: punkt $A$ leży na osi optycznej, punkt $B$ znajduje się powyżej osi. Odległość przedmiotu od soczewki: $x = 3\ \text{cm}$.
   • Obraz $A'B'$: punkt $A'$ leży na osi optycznej po przeciwnej stronie soczewki niż przedmiot, punkt $B'$ znajduje się poniżej osi optycznej. Odległość obrazu od soczewki: $x' = 6\ \text{cm}$.
   • Obraz jest odwrócony i powiększony (leży po przeciwnej stronie soczewki niż przedmiot).
2. Krok 2 – Wyznaczenie ogniskowej soczewki

   Stosujemy równanie soczewki cienkiej:

   $$\frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x'}$$

   Podstawiamy odczytane wartości ($x = 3\ \text{cm}$, $x' = 6\ \text{cm}$):

   $$\frac{1}{f} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ $$f = 2\ \text{cm}$$

   Ogniskowa jest dodatnia ($f > 0$), co jednoznacznie wskazuje na soczewkę skupiającą.

3. Krok 3 – Ocena charakteru obrazu (ekran)

   Obraz $A'B'$ powstaje po przeciwnej stronie soczewki niż przedmiot $AB$. Oznacza to, że jest to obraz rzeczywisty. Obrazy rzeczywiste tworzone przez soczewkę skupiającą powstają przez rzeczywiste przecięcie się promieni świetlnych – można je rzutować na ekran.

   Warunkiem powstania obrazu rzeczywistego jest, że przedmiot leży dalej od soczewki niż jej ognisko ($x > f$), co sprawdzamy w kolejnym kroku.

4. Krok 4 – Porównanie odległości przedmiotu z ogniskową

   Mamy $x = 3\ \text{cm}$ oraz $f = 2\ \text{cm}$, zatem:

   $$x = 3\ \text{cm} > f = 2\ \text{cm}$$

   Odległość przedmiotu od soczewki jest większa od ogniskowej, nie mniejsza.

   Dla soczewki skupiającej: jeżeli $x \lt f$, obraz jest pozorny (po tej samej stronie co przedmiot) i nie można go uzyskać na ekranie. Tu tak nie jest – obraz jest rzeczywisty.

Ocena prawdziwości stwierdzeń:

1. „Wytworzony przez soczewkę S ostry obraz $A'B'$ przedmiotu $AB$ można zaobserwować na ekranie."
   Obraz jest rzeczywisty (promienie przecinają się po drugiej stronie soczewki) → można go utrwalić na ekranie. → P (PRAWDA)
2. „Soczewka S jest soczewką skupiającą."
   Wyznaczona ogniskowa $f = 2\ \text{cm} > 0$, a obraz jest rzeczywisty i odwrócony – cechy charakterystyczne soczewki skupiającej. → P (PRAWDA)
3. „Odległość przedmiotu $AB$ od soczewki S jest mniejsza od ogniskowej tej soczewki."
   $x = 3\ \text{cm} > f = 2\ \text{cm}$ – odległość przedmiotu jest większa od ogniskowej, nie mniejsza. → F (FAŁSZ)

Wynik końcowy: P, P, F