Odbicie i załamanie — prawo Snella

Jak to rozwiązać — kąt graniczny i geometria trójkątów

Krok 1. Światło wychodzi z kuli tylko tam, gdzie kąt padania na wewnętrzną powierzchnię jest mniejszy od kąta granicznego. Brzegi jasnego łuku (punkty A i B) odpowiadają dokładnie kątowi granicznemu: kąt ∠SBD (= ∠DAS) = α_g.

Krok 2. Kąt graniczny dla przejścia szkło → powietrze:

$\sin\alpha_g=\dfrac{n_p}{n_{sz}}=\dfrac{1}{1{,}5}=\dfrac{2}{3}\;\Rightarrow\;\alpha_g=\arcsin\tfrac{2}{3}\approx 41{,}8^\circ$

Krok 3. Geometria. Trójkąty SBD i ASD są równoramienne (SD = SB = SA = promień kuli), więc kąty przy D są równe α_g. Kąt ∠BDA jest ich sumą:

$\varphi=\angle BDA=2\alpha_g\approx 2\cdot41{,}8^\circ\approx \mathbf{83{,}6^\circ}$

✔ Zgodne z kluczem: φ ≈ 83,6° (≈ 84°).

Jak to rozwiązać — jak ośrodek zewnętrzny wpływa na kąt graniczny

Krok 1. Kąt graniczny: $\sin\alpha_g=\dfrac{n_{zewn}}{n_{sz}}$. Woda ma większy współczynnik załamania niż powietrze ($n_w=1{,}33 > n_p=1{,}00$), więc $\sin\alpha_g$ jest większy, a zatem kąt graniczny jest większy (B).

Krok 2. Większy kąt graniczny oznacza, że przez powierzchnię kuli może wyjść światło padające pod większym zakresem kątów, więc pole, przez które wychodzi światło, się zwiększy (2).

Odpowiedź: B2.

✔ Zgodne z kluczem: B2.

Rozwiązanie

1. Krok 1 – Przypomnienie zależności między długością fali, prędkością i częstotliwością

   Długość fali, prędkość rozchodzenia się fali oraz jej częstotliwość są związane wzorem:

   $$\lambda = \frac{v}{f}$$

   gdzie $\lambda$ to długość fali, $v$ to prędkość fali w danym ośrodku, $f$ to częstotliwość fali.

2. Krok 2 – Co dzieje się z częstotliwością przy przejściu fali do innego ośrodka?

   Częstotliwość fali jest cechą źródła dźwięku i nie zmienia się podczas przejścia fali z jednego ośrodka do drugiego. Wynika to z zasady ciągłości – na granicy ośrodków drgania muszą być zgodne, a liczba drgań na sekundę pozostaje niezmieniona niezależnie od ośrodka rozchodzenia.

   Zatem: $f_{\text{woda}} = f_{\text{powietrze}} = f = \text{const}$

3. Krok 3 – Obliczenie stosunku długości fali w wodzie do długości fali w powietrzu

   Ponieważ częstotliwość się nie zmienia, możemy porównać długości fali w obu ośrodkach:

   $$\frac{\lambda_w}{\lambda_p} = \frac{v_w / f}{v_p / f} = \frac{v_w}{v_p} = \frac{1450 \text{ m/s}}{340 \text{ m/s}} \approx 4{,}26$$

   Długość fali w wodzie jest ponad czterokrotnie większa niż w powietrzu.

4. Krok 4 – Analiza odpowiedzi

   Skoro $v_w > v_p$ oraz $f = \text{const}$, to $\lambda_w > \lambda_p$, czyli długość fali się zwiększyła.

   • Odpowiedź A – POPRAWNA: Długość fali zwiększyła się, ponieważ prędkość dźwięku w wodzie ($1450$ m/s) jest znacznie większa niż w powietrzu ($340$ m/s), a przy stałej częstotliwości większa prędkość oznacza większą długość fali ($\lambda = v/f$).
   • Odpowiedź B – BŁĘDNA: Długość fali nie zmniejszyła się. Zmniejszenie nastąpiłoby, gdyby fala przechodziła do ośrodka o mniejszej prędkości rozchodzenia, co tu nie ma miejsca.
   • Odpowiedź C – BŁĘDNA: Długość fali nie jest niezmiennicza przy zmianie ośrodka (w przeciwieństwie do częstotliwości). Zmienia się wraz z prędkością.

   Uzasadnienie 3. – POPRAWNE: Częstotliwość fali po przejściu z powietrza do wody się nie zmieniła, gdyż zależy wyłącznie od źródła dźwięku, a nie od właściwości ośrodka.

   • Uzasadnienie 1. – BŁĘDNE: Częstotliwość nie mogła się zwiększyć – żaden ośrodek nie jest w stanie zmienić częstotliwości fali narzuconej przez źródło.
   • Uzasadnienie 2. – BŁĘDNE: Analogicznie, częstotliwość nie mogła się zmniejszyć z tego samego powodu.

Wynik końcowy:

Prawidłowa odpowiedź to A3 — długość fali dźwiękowej po przejściu z powietrza do wody się zwiększyła, ponieważ częstotliwość tej fali po przejściu z powietrza do wody się nie zmieniła (wzrosła natomiast prędkość fali, co przy stałej częstotliwości bezpośrednio powoduje wzrost długości fali: $\lambda_w = \dfrac{v_w}{f} \approx 4{,}26\,\lambda_p$).

Aby ustalić dalszy bieg wiązki ultradźwięków na granicy powietrze–woda, należy zastosować prawo Snella dla fal akustycznych.

1. Krok 1: Dane i prędkości dźwięku w obu ośrodkach

   Kąt padania wiązki (mierzony od normalnej do powierzchni): $$\alpha_p = 45°$$

   Prędkości dźwięku w obu ośrodkach (wartości standardowe):

   • w powietrzu: $v_1 = 340 \text{ m/s}$
   • w wodzie: $v_2 = 1480 \text{ m/s}$

   Ponieważ $v_2 > v_1$, woda jest ośrodkiem optycznie (akustycznie) gęstszym — prędkość fali jest w niej większa.

2. Krok 2: Zastosowanie prawa Snella

   Prawo załamania fal (prawo Snella) dla fal akustycznych:

   $$\frac{\sin \alpha_p}{\sin \alpha_z} = \frac{v_1}{v_2}$$

   gdzie $\alpha_z$ jest kątem załamania (mierzonym od normalnej do powierzchni po stronie wody).

3. Krok 3: Obliczenie kąta załamania $$\sin \alpha_z = \frac{v_2}{v_1} \cdot \sin \alpha_p = \frac{1480}{340} \cdot \sin 45°$$ $$\sin \alpha_z = \frac{1480}{340} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 4{,}353 \cdot 0{,}7071 \approx 3{,}08$$

   Ponieważ $\sin \alpha_z \approx 3{,}08 > 1$, uzyskana wartość jest niemożliwa matematycznie — funkcja sinus nie może przyjąć wartości większej od 1.

4. Krok 4: Interpretacja fizyczna — zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia (analogy: kąt graniczny)

   Wynik $\sin \alpha_z > 1$ oznacza, że nie dochodzi do załamania wiązki w wodzie. Zjawisko to nosi nazwę całkowitego odbicia. Możliwe jest ono, gdy fala przechodzi z ośrodka o mniejszej prędkości do ośrodka o większej prędkości, a kąt padania przekracza kąt graniczny $\alpha_g$.

   Kąt graniczny wyznaczamy z warunku $\sin \alpha_z = 1$:

   $$\sin \alpha_g = \frac{v_1}{v_2} = \frac{340}{1480} \approx 0{,}230$$ $$\alpha_g = \arcsin(0{,}230) \approx 13{,}3°$$

   Kąt padania $\alpha_p = 45° > \alpha_g \approx 13{,}3°$, więc warunek całkowitego odbicia jest spełniony.

5. Krok 5: Ustalenie dalszego biegu wiązki

   Wiązka ultradźwięków nie wnika do wody — ulega całkowitemu odbiciu od tafli wody z powrotem do powietrza. Zgodnie z prawem odbicia kąt odbicia jest równy kątowi padania:

   $$\alpha_{odbicia} = \alpha_p = 45°$$

   Wiązka odbita leży po tej samej stronie granicy (w powietrzu), symetrycznie względem normalnej do powierzchni.

• Rysunek B — POPRAWNY: Przedstawia całkowite odbicie wiązki w powietrzu pod kątem $45°$ od normalnej, bez wnikania do wody. Jest to jedyna fizycznie prawidłowa sytuacja.
• Rysunek A — BŁĘDNY: Przedstawia załamanie wiązki ku normalnej (zmniejszenie kąta), co odpowiadałoby przejściu do ośrodka o mniejszej prędkości. Tu jest odwrotnie — woda ma większą prędkość dźwięku, a w ogóle załamanie nie zachodzi.
• Rysunek C — BŁĘDNY: Przedstawia załamanie wiązki od normalnej (zwiększenie kąta), co choć co do kierunku odpowiada przejściu do ośrodka o większej prędkości, to jednak nie uwzględnia faktu, że kąt padania przekracza kąt graniczny i załamanie jest w ogóle niemożliwe.

Wynik końcowy:

Ponieważ $\alpha_p = 45° > \alpha_g \approx 13{,}3°$, wiązka ultradźwięków ulega całkowitemu odbiciu od tafli wody i wraca do powietrza pod kątem $45°$ od normalnej. Prawidłowy rysunek to:

Odpowiedź: B

Jak to rozwiązać — prawo odbicia, załamania i symetria krążka

Relacja 1: γ_pad = γ_odb. Prawo odbicia — kąt padania równy kątowi odbicia.

Relacja 2: γ_pad < γ_zał. W D światło przechodzi ze szkła do powietrza (ośrodek rzadszy), więc załamuje się od normalnej — kąt załamania większy od kąta padania.

Relacja 3: γ_zał = α. Trójkąt OAD jest równoramienny (OA = OD = promień), więc γ_pad = β. Z prawa załamania w A: $\sin\alpha=n\sin\beta$, a w D: $n\sin\gamma_{pad}=\sin\gamma_{zał}$. Ponieważ γ_pad = β, wychodzi $\sin\gamma_{zał}=\sin\alpha$, czyli γ_zał = α.

✔ Zgodne z kluczem: =, <, =.

Jak to rozwiązać — prawo załamania przez stosunki boków

Krok 1. Prawo załamania: $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{c}{v}$. AB jest średnicą, więc trójkąty ABC i ABD są prostokątne (kąt oparty na średnicy = 90°). Stąd:

$\sin\alpha=\dfrac{|CB|}{|AB|},\qquad \sin\beta=\dfrac{|BD|}{|AB|}$

Krok 2. Wyznaczamy v (|AB| się skraca):

$v=\dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot c=\dfrac{|BD|}{|CB|}\cdot c=\dfrac{4{,}8}{7{,}8}\cdot3{,}0\cdot10^8\approx \mathbf{1{,}8\cdot10^{8}\ \tfrac{m}{s}}$

✔ Zgodne z kluczem: v ≈ 1,8·10⁸ m/s.

Rozwiązanie

Fioletowe ma większe $n$ (mniejsza $\lambda$), a $v=\tfrac{c}{n}$, więc $v_F\lt v_C$ → C. Częstotliwość nie zmienia się przy przejściu do ośrodka; $f=\tfrac{c}{\lambda_{pr\acute{o}\dot{z}nia}}$, a fioletowe ma mniejszą $\lambda$ → większe $f$: $f_F>f_C$ → 1.

Odpowiedź: C oraz 1.

Rozwiązanie

Z wykresu $n(0{,}50\,\mu\text{m})\approx1{,}56$. Częstotliwość się nie zmienia, więc $\lambda_{sz}=\dfrac{\lambda}{n}=\dfrac{0{,}50}{1{,}56}\approx0{,}32\,\mu$m.

Rozwiązanie

Normalna do powierzchni sferycznej w punkcie padania przechodzi przez środek O. Promień odbity: kąt odbicia = kąt padania (po drugiej stronie normalnej). Promień załamany: przechodzi z powietrza do gęstszego optycznie szkła, więc załamuje się ku normalnej — kąt załamania jest mniejszy od kąta padania.

Rozwiązanie

Aby na granicy ciecz–szkło nie zachodziło załamanie (kierunek się nie zmienia), ciecz musi mieć taki sam współczynnik załamania jak szkło ($n_{cieczy}=n_{szkła}$). Wtedy prawo Snella daje kąt załamania równy kątowi padania.

Rozwiązanie (metoda)

Kąty podane są względem powierzchni — kąt względem normalnej to $90^\circ$ minus kąt z powierzchnią. Stosujemy prawo Snella $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$ na każdej powierzchni.

1. Wejście do I (powietrze→I): kąt padania $\theta=90^\circ-50^\circ=40^\circ$. $\sin40^\circ=n_I\sin r_I$ — stąd wyznaczamy $n_I$, korzystając z kąta załamania odczytanego z geometrii pryzmatu I.
2. Sklejenie (I→II): kąty promienia z powierzchnią sklejenia wynoszą po $70^\circ$ (czyli $20^\circ$ od normalnej). Aby promień załamywał się przy przejściu, współczynniki muszą się różnić; z kierunku załamania (ku normalnej w II) wynika, że pryzmat II ma większy współczynnik załamania niż pryzmat I.
3. Wyjście z II (II→powietrze): kąt z powierzchnią $65^\circ$ → $25^\circ$ od normalnej w powietrzu; $n_{II}\sin\theta_{II}=\sin25^\circ$ pozwala wyznaczyć $n_{II}$.

Z powyższych zależności: $n_I\approx1{,}3$, a $n_{II}>n_I$ (rzędu $1{,}4$). (Dokładne wartości wynikają z kątów odczytanych z rysunku.)

Rozwiązanie

Prowadzimy promienie styczne do źródła Z i piłki T: promienie z przeciwległych brzegów źródła i piłki (krzyżujące się) wyznaczają obszar cienia (C) — środkowy pas, do którego nie dociera światło z żadnego punktu źródła. Promienie ze zgodnych brzegów wyznaczają zewnętrzne granice; między granicą cienia a granicą pełnego oświetlenia leżą po obu stronach obszary półcienia (P).