Soczewki — równanie soczewki

Zadanie 7.1 – Analiza obrazu wytworzonego przez soczewkę

Na podstawie rysunku siatkowego (kratka 1 cm) odczytujemy położenia charakterystycznych punktów. Zakładamy, że soczewka jest pionowa, oś optyczna pozioma, a punkty leżą zgodnie z opisem.

1. Krok 1 – Odczyt danych z rysunku

   Na podstawie rysunku odczytujemy (licząc kratki po 1 cm):

   • Przedmiot $AB$: punkt $A$ leży na osi optycznej, punkt $B$ znajduje się powyżej osi. Odległość przedmiotu od soczewki: $x = 3\ \text{cm}$.
   • Obraz $A'B'$: punkt $A'$ leży na osi optycznej po przeciwnej stronie soczewki niż przedmiot, punkt $B'$ znajduje się poniżej osi optycznej. Odległość obrazu od soczewki: $x' = 6\ \text{cm}$.
   • Obraz jest odwrócony i powiększony (leży po przeciwnej stronie soczewki niż przedmiot).
2. Krok 2 – Wyznaczenie ogniskowej soczewki

   Stosujemy równanie soczewki cienkiej:

   $$\frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x'}$$

   Podstawiamy odczytane wartości ($x = 3\ \text{cm}$, $x' = 6\ \text{cm}$):

   $$\frac{1}{f} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ $$f = 2\ \text{cm}$$

   Ogniskowa jest dodatnia ($f > 0$), co jednoznacznie wskazuje na soczewkę skupiającą.

3. Krok 3 – Ocena charakteru obrazu (ekran)

   Obraz $A'B'$ powstaje po przeciwnej stronie soczewki niż przedmiot $AB$. Oznacza to, że jest to obraz rzeczywisty. Obrazy rzeczywiste tworzone przez soczewkę skupiającą powstają przez rzeczywiste przecięcie się promieni świetlnych – można je rzutować na ekran.

   Warunkiem powstania obrazu rzeczywistego jest, że przedmiot leży dalej od soczewki niż jej ognisko ($x > f$), co sprawdzamy w kolejnym kroku.

4. Krok 4 – Porównanie odległości przedmiotu z ogniskową

   Mamy $x = 3\ \text{cm}$ oraz $f = 2\ \text{cm}$, zatem:

   $$x = 3\ \text{cm} > f = 2\ \text{cm}$$

   Odległość przedmiotu od soczewki jest większa od ogniskowej, nie mniejsza.

   Dla soczewki skupiającej: jeżeli $x \lt f$, obraz jest pozorny (po tej samej stronie co przedmiot) i nie można go uzyskać na ekranie. Tu tak nie jest – obraz jest rzeczywisty.

Ocena prawdziwości stwierdzeń:

1. „Wytworzony przez soczewkę S ostry obraz $A'B'$ przedmiotu $AB$ można zaobserwować na ekranie."
   Obraz jest rzeczywisty (promienie przecinają się po drugiej stronie soczewki) → można go utrwalić na ekranie. → P (PRAWDA)
2. „Soczewka S jest soczewką skupiającą."
   Wyznaczona ogniskowa $f = 2\ \text{cm} > 0$, a obraz jest rzeczywisty i odwrócony – cechy charakterystyczne soczewki skupiającej. → P (PRAWDA)
3. „Odległość przedmiotu $AB$ od soczewki S jest mniejsza od ogniskowej tej soczewki."
   $x = 3\ \text{cm} > f = 2\ \text{cm}$ – odległość przedmiotu jest większa od ogniskowej, nie mniejsza. → F (FAŁSZ)

Wynik końcowy: P, P, F

Zadanie polega na wyznaczeniu konstrukcyjnym (za pomocą promieni charakterystycznych) położenia soczewki S oraz jej ogniska F na podstawie rysunku z zadania 7., na którym przedstawiony jest obraz punktu świecącego wytworzony przez soczewkę skupiającą.

Zasada konstrukcji odwrotnej

Na rysunku znane są: położenie przedmiotu (punkt P) oraz położenie obrazu (punkt P'). Należy odszukać taką soczewkę skupiającą, która odwzorowuje P w P'. Korzystamy z własności promieni charakterystycznych w odwrotnym kierunku – znając bieg promieni po przejściu przez soczewkę, rekonstruujemy soczewkę i jej ognisko.

Promienie charakterystyczne użyte do konstrukcji

1. Promień 1 – równoległy do osi optycznej (przed soczewką) → przechodzi przez ognisko (za soczewką):
   Promień wychodzący z punktu P, biegnący równolegle do głównej osi optycznej, po przejściu przez soczewkę skupiającą musi przechodzić przez ognisko tylne F. Znamy kierunek promienia po obu stronach: przed soczewką – poziomy, po soczewce – biegnie do punktu P'. Przecięcie tych dwóch odcinków wskazuje płaszczyznę soczewki.

2. Promień 2 – przechodzący przez środek optyczny soczewki (bez załamania):
   Promień biegnący przez środek soczewki nie zmienia kierunku. Łączymy zatem punkty P i P' prostą – jej przecięcie z wyznaczoną wcześniej płaszczyzną soczewki potwierdza środek optyczny O soczewki.

3. Wyznaczenie ogniska F:
   Promień 1 po przejściu przez soczewkę (w punkcie przecięcia z płaszczyzną soczewki) biegnie do P'. Przedłużamy ten promień wstecz przez płaszczyznę soczewki – wyznaczamy, gdzie przecina główną oś optyczną. Ten punkt to ognisko F.

Krok po kroku – opis konstrukcji

1. Krok 1. Narysowanie promienia równoległego do osi optycznej.
   Od punktu świecącego P prowadzimy promień poziomo (równolegle do głównej osi optycznej) w prawo.

2. Krok 2. Połączenie P z P' prostą (promień przez środek).
   Prostą łączącą P i P' wyznaczamy kierunek promienia przechodzącego przez środek optyczny soczewki. Soczewka musi znajdować się gdzieś na tej prostej – konkretnie tam, gdzie prosta ta przecina linię prostopadłą do osi.

3. Krok 3. Wyznaczenie płaszczyzny soczewki S.
   Promień poziomy (z Kroku 1) po przejściu przez soczewkę musi trafić do P'. Zaznaczamy punkt A – przecięcie poziomej prostej (promień 1) z prostą P–P' (promień 2). Pionowa linia przez punkt A to płaszczyzna soczewki S. Zaznaczamy i podpisujemy soczewkę jako S.

4. Krok 4. Wyznaczenie ogniska F.
   Promień 1 (poziomy przed soczewką) po przejściu przez punkt A na soczewce biegnie do P'. Prosta AP' przecięta z główną osią optyczną daje punkt F – ognisko soczewki. Podpisujemy go jako F.

5. Krok 5. Odczytanie ogniskowej z siatki.
   Zgodnie z uwagą w treści zadania, środek soczewki oraz ognisko leżą w punktach kratowych. Odczytujemy odległość $|OF|$ wprost z siatki (kratka = 1 cm).

Wynik

Na podstawie przeprowadzonej konstrukcji i odczytu z siatki punktowej (każda kratka odpowiada 1 cm):

Sprawdzenie równaniem soczewki: jeśli odczytane odległości to np. $d_o$ (odległość przedmiotu) i $d_i$ (odległość obrazu), to:

Wynik powinien być zgodny z odczytaną graficznie ogniskową $f = 4\text{ cm}$.

Podsumowanie oznaczeń na rysunku:

1. Soczewka – pionowa linia z oznaczeniem S (ze strzałkami skupiającymi).
2. Ognisko – punkt na głównej osi optycznej oznaczony jako F.
3. Dwa promienie charakterystyczne narysowane ciągłymi liniami.

Jak to rozwiązać — podobieństwo trójkątów przy wspólnym ognisku

Krok 1. Promienie równoległe skupiają się we wspólnym ognisku F. Trójkąty utworzone przez skrajny promień i oś (o wysokościach d₁/2 i d₂/2, o podstawach f₁ i f₂) są podobne:

$\dfrac{f_1}{d_1}=\dfrac{f_2}{d_2}$

Krok 2. Stąd:

$d_2=d_1\cdot\dfrac{f_2}{f_1}=2{,}25\ \text{mm}\cdot\dfrac{40}{15}=\mathbf{6\ mm}$

✔ Zgodne z kluczem: d₂ = 6 mm.

Jak to rozwiązać — układ Galileusza (wspólne ognisko)

Krok 1. Aby wiązka wchodząca i wychodząca były równoległe do osi, ognisko obrazowe soczewki R musi pokrywać się z ogniskiem przedmiotowym soczewki S. Ognisko R leży po stronie wejścia (bo f_R < 0).

Krok 2. Odległość soczewek:

$d=f_S-|f_R|=40-15=\mathbf{25\ cm}$

Krok 3. Bieg promieni. Promienie równoległe padające na R rozbiegają się tak, jakby wychodziły z ogniska R; po przejściu przez S biegną równolegle do osi i tworzą wiązkę poszerzoną (poszerzenie = f_S/|f_R| = 40/15 ≈ 2,7×).

✔ Zgodne z kluczem: S w 25 cm od R; wiązka wyjściowa równoległa i poszerzona.

Promień równoległy do osi po przejściu przez soczewkę skupiającą S1 załamuje się i przechodzi przez jej ognisko obrazowe $F_{1P}$ (po prawej stronie S1).

Następnie biegnie dalej i pada na S2. Aby wyznaczyć jego bieg za S2, korzystamy z konstrukcji: przez środek S2 prowadzimy pomocniczy promień równoległy do promienia padającego — przecina on płaszczyznę ogniskową obrazową S2 w punkcie, przez który przechodzi załamany promień P.

W rysunku 1. i 2. różne położenia soczewek dają różny bieg końcowy — konstrukcję wykonujemy zgodnie z powyższą zasadą (bieg wynika z położenia ognisk $F_{2L},F_{2P}$).

Rozwiązanie

1. Powiększenie $p=\dfrac{y}{x}=2{,}5$, więc $y=2{,}5x$; odległość przedmiot–obraz $x+y=49\Rightarrow3{,}5x=49\Rightarrow x=14$ cm, $y=35$ cm.
2. $\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{35}=\dfrac{1}{10}\Rightarrow f=10$ cm.

Rozwiązanie

Przy ustalonej odległości przedmiot–ekran $d_2$ istnieją dwa sprzężone położenia soczewki: odległości przedmiotu i obrazu zamieniają się miejscami. Zatem $x_3=d_2-x_2$.

Odpowiedź: $x_3=d_2-x_2$.

Prowadzimy z punktu $A$ promienie przechodzące przez dolną połowę soczewki: np. promień przez środek soczewki $O$ (biegnie bez załamania) oraz promień równoległy do osi, który po załamaniu przechodzi przez ognisko $F_{2}$ (po stronie ekranu). Punkt przecięcia tych promieni to obraz $A^{\prime}$; obraz $B^{\prime}$ leży na osi optycznej.

Powstaje obraz rzeczywisty, odwrócony i powiększony, po przeciwnej stronie soczewki niż przedmiot. Zasłonięcie części soczewki nie zmienia położenia ani wielkości obrazu — jedynie zmniejsza jego jasność.

Niech $x$ — odległość przedmiotu, $y$ — odległość obrazu. Dla obrazu rzeczywistego powiększenie $p=\dfrac{y}{x}$, więc $y=px$.

Z równania soczewki: $\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{px}=\dfrac{p+1}{px}$.

Stąd $f=\dfrac{px}{p+1}=\left(\dfrac{p}{p+1}\right)x$.

Rozwiązanie

Promień przechodzący przez środek soczewki nie załamuje się, więc prosta $DD'$ przecina oś optyczną w środku soczewki S1 — to wyznacza położenie soczewki. Ognisko $F_1$ znajdujemy, prowadząc z $D$ promień równoległy do osi — po załamaniu przechodzi on przez ognisko po drugiej stronie soczewki (punkt przecięcia z osią i promieniem $D'$).

Rozwiązanie

Przedmiot $D$ leży wewnątrz ogniskowej (bliżej soczewki niż ognisko), więc obraz jest pozorny — powstaje po tej samej stronie co przedmiot. Prowadzimy: promień równoległy do osi (po załamaniu przez $F_2$) oraz promień przez środek soczewki; ich przedłużenia przecinają się po stronie przedmiotu — tam jest $D''$ (prosty, powiększony).

Rozwiązanie

Przedmiot wewnątrz ogniskowej soczewki skupiającej → obraz pozorny, prosty, powiększony (jak w lupie).

1. rzeczywisty → F; 2) odwrócony → F; 3) powiększony → P.

Odpowiedź: F, F, P.

Rozwiązanie

Fioletowe ($n$ większe) skupia się bliżej soczewki, czerwone — dalej. Przy ekranie ustawionym daleko (za oboma ogniskami) promienie fioletowe, które skupiły się wcześniej, zdążyły się bardziej rozejść — są na zewnątrz plamki, a czerwone (ognisko bliżej ekranu) tworzą środek. Środek plamki na rys. 1 jest czerwony (zewnętrzna część — fioletowa).

Rozwiązanie

Ze wzoru soczewkowego $\tfrac{1}{f}=(n-1)\left(\tfrac{1}{R_1}+\tfrac{1}{R_2}\right)$, więc $f\propto\dfrac{1}{n-1}$: $\dfrac{f_F}{f_C}=\dfrac{n_C-1}{n_F-1}$.

Z wykresu (krańce zakresu widzialnego): $n_F\approx1{,}58$, $n_C\approx1{,}52$. $\dfrac{f_F}{f_C}=\dfrac{0{,}52}{0{,}58}\approx0{,}9$.

Rozwiązanie

Soczewka dwuwklęsła jest skupiająca, gdy ośrodek ma większy współczynnik załamania niż soczewka ($n_{ośr}>1{,}6$). Spełniają to ośrodki 2 ($1{,}7$) i 3 ($2{,}2$).

Odpowiedź: ośrodki 2 i 3.

Rozwiązanie

Soczewka rozpraszająca daje obraz pozorny, prosty, pomniejszony, po tej samej stronie co przedmiot i bliżej soczewki niż przedmiot — tak jak na rysunku B (rysunek C pokazuje obraz powiększony, A i D — obrazy, których soczewka rozpraszająca nie wytwarza dla przedmiotu rzeczywistego).

Odpowiedź: B

Rozwiązanie

Obraz jest pozorny (po stronie przedmiotu), więc $y=-0{,}25$ m. Z równania soczewki $\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{0{,}4}+\dfrac{1}{-0{,}25}=2{,}5-4=-1{,}5\,\tfrac{1}{\text{m}}$.

$f=-\dfrac{1}{1{,}5}\approx-0{,}67$ m (soczewka rozpraszająca).

Rozwiązanie

Dla cienkich soczewek zetkniętych zdolności skupiające dodają się: $Z=Z_1+Z_2$. Odsunięcie ekranu oznacza, że obraz powstaje dalej, czyli ogniskowa układu wzrosła, a zdolność skupiająca zmalała → dodana soczewka jest rozpraszająca (B). Rozpraszające są soczewki cieńsze w środku niż na brzegach — kształty 2 i 4.

Odpowiedź: B oraz kształty 2 i 4.

Rozwiązanie

Powiększenie $p=\dfrac{y}{x}$ (odległość obrazu / przedmiotu). Przedmiot pozostał, a obraz powstał dalej ($y$ wzrosło) → powiększenie wzrosło → obraz jest większy.

Odpowiedź: A