Przyrządy optyczne

Zadanie polega na wyznaczeniu konstrukcyjnym (za pomocą promieni charakterystycznych) położenia soczewki S oraz jej ogniska F na podstawie rysunku z zadania 7., na którym przedstawiony jest obraz punktu świecącego wytworzony przez soczewkę skupiającą.

Zasada konstrukcji odwrotnej

Na rysunku znane są: położenie przedmiotu (punkt P) oraz położenie obrazu (punkt P'). Należy odszukać taką soczewkę skupiającą, która odwzorowuje P w P'. Korzystamy z własności promieni charakterystycznych w odwrotnym kierunku – znając bieg promieni po przejściu przez soczewkę, rekonstruujemy soczewkę i jej ognisko.

Promienie charakterystyczne użyte do konstrukcji

1. Promień 1 – równoległy do osi optycznej (przed soczewką) → przechodzi przez ognisko (za soczewką):
   Promień wychodzący z punktu P, biegnący równolegle do głównej osi optycznej, po przejściu przez soczewkę skupiającą musi przechodzić przez ognisko tylne F. Znamy kierunek promienia po obu stronach: przed soczewką – poziomy, po soczewce – biegnie do punktu P'. Przecięcie tych dwóch odcinków wskazuje płaszczyznę soczewki.

2. Promień 2 – przechodzący przez środek optyczny soczewki (bez załamania):
   Promień biegnący przez środek soczewki nie zmienia kierunku. Łączymy zatem punkty P i P' prostą – jej przecięcie z wyznaczoną wcześniej płaszczyzną soczewki potwierdza środek optyczny O soczewki.

3. Wyznaczenie ogniska F:
   Promień 1 po przejściu przez soczewkę (w punkcie przecięcia z płaszczyzną soczewki) biegnie do P'. Przedłużamy ten promień wstecz przez płaszczyznę soczewki – wyznaczamy, gdzie przecina główną oś optyczną. Ten punkt to ognisko F.

Krok po kroku – opis konstrukcji

1. Krok 1. Narysowanie promienia równoległego do osi optycznej.
   Od punktu świecącego P prowadzimy promień poziomo (równolegle do głównej osi optycznej) w prawo.

2. Krok 2. Połączenie P z P' prostą (promień przez środek).
   Prostą łączącą P i P' wyznaczamy kierunek promienia przechodzącego przez środek optyczny soczewki. Soczewka musi znajdować się gdzieś na tej prostej – konkretnie tam, gdzie prosta ta przecina linię prostopadłą do osi.

3. Krok 3. Wyznaczenie płaszczyzny soczewki S.
   Promień poziomy (z Kroku 1) po przejściu przez soczewkę musi trafić do P'. Zaznaczamy punkt A – przecięcie poziomej prostej (promień 1) z prostą P–P' (promień 2). Pionowa linia przez punkt A to płaszczyzna soczewki S. Zaznaczamy i podpisujemy soczewkę jako S.

4. Krok 4. Wyznaczenie ogniska F.
   Promień 1 (poziomy przed soczewką) po przejściu przez punkt A na soczewce biegnie do P'. Prosta AP' przecięta z główną osią optyczną daje punkt F – ognisko soczewki. Podpisujemy go jako F.

5. Krok 5. Odczytanie ogniskowej z siatki.
   Zgodnie z uwagą w treści zadania, środek soczewki oraz ognisko leżą w punktach kratowych. Odczytujemy odległość $|OF|$ wprost z siatki (kratka = 1 cm).

Wynik

Na podstawie przeprowadzonej konstrukcji i odczytu z siatki punktowej (każda kratka odpowiada 1 cm):

Sprawdzenie równaniem soczewki: jeśli odczytane odległości to np. $d_o$ (odległość przedmiotu) i $d_i$ (odległość obrazu), to:

Wynik powinien być zgodny z odczytaną graficznie ogniskową $f = 4\text{ cm}$.

Podsumowanie oznaczeń na rysunku:

1. Soczewka – pionowa linia z oznaczeniem S (ze strzałkami skupiającymi).
2. Ognisko – punkt na głównej osi optycznej oznaczony jako F.
3. Dwa promienie charakterystyczne narysowane ciągłymi liniami.

Jak to rozwiązać — podobieństwo trójkątów przy wspólnym ognisku

Krok 1. Promienie równoległe skupiają się we wspólnym ognisku F. Trójkąty utworzone przez skrajny promień i oś (o wysokościach d₁/2 i d₂/2, o podstawach f₁ i f₂) są podobne:

$\dfrac{f_1}{d_1}=\dfrac{f_2}{d_2}$

Krok 2. Stąd:

$d_2=d_1\cdot\dfrac{f_2}{f_1}=2{,}25\ \text{mm}\cdot\dfrac{40}{15}=\mathbf{6\ mm}$

✔ Zgodne z kluczem: d₂ = 6 mm.

Jak to rozwiązać — układ Galileusza (wspólne ognisko)

Krok 1. Aby wiązka wchodząca i wychodząca były równoległe do osi, ognisko obrazowe soczewki R musi pokrywać się z ogniskiem przedmiotowym soczewki S. Ognisko R leży po stronie wejścia (bo f_R < 0).

Krok 2. Odległość soczewek:

$d=f_S-|f_R|=40-15=\mathbf{25\ cm}$

Krok 3. Bieg promieni. Promienie równoległe padające na R rozbiegają się tak, jakby wychodziły z ogniska R; po przejściu przez S biegną równolegle do osi i tworzą wiązkę poszerzoną (poszerzenie = f_S/|f_R| = 40/15 ≈ 2,7×).

✔ Zgodne z kluczem: S w 25 cm od R; wiązka wyjściowa równoległa i poszerzona.