Układy równań liniowych — zestaw ćwiczeniowy (LO) — zadania z rozwiązaniami

Rozwiązanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi to para $(x,y)$ spełniająca oba równania.

Odpowiedź: C. para liczb $(x,y)$.

Pierwsze równanie: $2+3=5$ ✔

Drugie równanie: $2-3=-1$ ✔

Oba spełnione.

Odpowiedź: tak, $(2,3)$ jest rozwiązaniem.

Krok 1 — podstawiamy $y=2x$ do drugiego równania:

$$x+2x=9 \quad\Rightarrow\quad 3x=9 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Krok 2 — wyznaczamy $y$:

$$y=2\cdot3=6$$

Odpowiedź: $(x,y)=(3,6)$.

Krok 1 — dodajemy równania stronami (znika $y$):

$$2x=14 \quad\Rightarrow\quad x=7$$

Krok 2 — wyznaczamy $y$ z pierwszego równania:

$$7+y=10 \quad\Rightarrow\quad y=3$$

Odpowiedź: $(x,y)=(7,3)$.

Układ bez rozwiązań to układ sprzeczny (proste równoległe). Układ z jednym rozwiązaniem — oznaczony, z nieskończenie wieloma — nieoznaczony.

Odpowiedź: A. sprzecznym.

Krok 1 — dodajemy równania (znika $y$):

$$3x=9 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Krok 2 — z drugiego równania:

$$3-y=2 \quad\Rightarrow\quad y=1$$

Sprawdzenie: $2\cdot3+1=7$ ✔

Odpowiedź: $(3,1)$.

Krok 1 — podstawiamy $x=y+1$:

$$2(y+1)+3y=12 \quad\Rightarrow\quad 2y+2+3y=12$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$5y=10 \quad\Rightarrow\quad y=2$$

Krok 3 — wyznaczamy $x$:

$$x=2+1=3$$

Odpowiedź: $(3,2)$.

Każde równanie to prosta; rozwiązanie układu to punkt ich przecięcia.

Odpowiedź: D. punkt przecięcia prostych.

Krok 1 — odejmujemy równania stronami (znika $2y$):

$$(3x+2y)-(x+2y)=16-8 \quad\Rightarrow\quad 2x=8 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Krok 2 — z drugiego równania:

$$4+2y=8 \quad\Rightarrow\quad 2y=4 \quad\Rightarrow\quad y=2$$

Odpowiedź: $(4,2)$.

Krok 1 — druga równość podzielona przez $2$:

$$x+y=7{,}5$$

Krok 2 — porównujemy z pierwszym. Mamy jednocześnie $x+y=6$ i $x+y=7{,}5$ — to niemożliwe.

Wniosek. Układ jest sprzeczny (proste równoległe) — brak rozwiązań.

Odpowiedź: układ sprzeczny.

Układ oznaczony ma dokładnie jedno rozwiązanie (proste przecinają się w jednym punkcie).

Odpowiedź: B. dokładnie jedno.

Krok 1 — druga równość podzielona przez $2$:

$$2x-y=3$$

Krok 2 — to identyczne z pierwszym równaniem. Oba opisują tę samą prostą.

Wniosek. Układ nieoznaczony — nieskończenie wiele rozwiązań (wszystkie pary spełniające $y=2x-3$).

Odpowiedź: nieskończenie wiele rozwiązań.

Krok 1 — dodajemy równania (znika $2y$):

$$8x=16 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 2 — z pierwszego równania:

$$5\cdot2+2y=1 \quad\Rightarrow\quad 2y=-9 \quad\Rightarrow\quad y=-4{,}5$$

Odpowiedź: $(2,\ -4{,}5)$.

Dobieramy współczynniki tak, by przy jednej niewiadomej były przeciwne — wtedy po dodaniu równań ta niewiadoma się redukuje.

Odpowiedź: C.

Krok 1 — mnożymy, by wyrównać współczynniki przy $x$. Pierwsze $\times2$, drugie $\times3$:

$$\begin{cases}6x+4y=24 \\ 6x+15y=39\end{cases}$$

Krok 2 — odejmujemy stronami (znika $x$):

$$11y=15... $$

Dokładnie: $39-24=15$, $15y-4y=11y$, więc $11y=15$? Sprawdźmy ponownie mnożenie.

Poprawnie: $6x+15y-(6x+4y)=39-24$, czyli $11y=15$, $y=\frac{15}{11}$ — mało „ładne”, więc rozwiążmy inaczej dla kontroli.

Kontrola metodą wyznaczników. $W=3\cdot5-2\cdot2=11$, $W_x=12\cdot5-2\cdot13=34$, $W_y=3\cdot13-12\cdot2=15$. Zatem $x=\frac{34}{11}$, $y=\frac{15}{11}$.

Odpowiedź: $\left(\frac{34}{11},\ \frac{15}{11}\right)$.

Układ $\begin{cases}x+y=20 \\ x-y=6\end{cases}$. Dodając: $2x=26$, $x=13$.

Odpowiedź: A. $13$.

Krok 1 — oznaczenia. $b$ — cena bułki, $s$ — cena soku:

$$\begin{cases}3b+2s=16 \\ 2b+s=9\end{cases}$$

Krok 2 — z drugiego równania $s=9-2b$, podstawiamy:

$$3b+2(9-2b)=16 \quad\Rightarrow\quad 3b+18-4b=16 \quad\Rightarrow\quad -b=-2$$

$$b=2$$

Krok 3 — wyznaczamy $s$:

$$s=9-2\cdot2=5$$

Sprawdzenie: $3\cdot2+2\cdot5=16$ ✔

Odpowiedź: bułka $2$ zł, sok $5$ zł.

Krok 1 — oznaczenia. $d$ — cyfra dziesiątek, $j$ — cyfra jedności:

$$\begin{cases}d=j+2 \\ d+j=12\end{cases}$$

Krok 2 — podstawiamy $d=j+2$:

$$(j+2)+j=12 \quad\Rightarrow\quad 2j=10 \quad\Rightarrow\quad j=5$$

Krok 3 — wyznaczamy $d$:

$$d=5+2=7$$

Krok 4 — liczba. Cyfra dziesiątek $7$, jedności $5$ — liczba $75$.

Sprawdzenie: $7+5=12$, $7-5=2$ ✔

Odpowiedź: $75$.

Krok 1 — warunek nieoznaczoności. Drugie równanie musi być wielokrotnością pierwszego. Pierwsze $\times2$ daje $2x+2y=8$.

Krok 2 — porównujemy z $2x+my=8$. Aby oba równania były identyczne, musi być:

$$m=2$$

Krok 3 — sprawdzenie. Dla $m=2$ drugie równanie to dokładnie podwojone pierwsze — nieskończenie wiele rozwiązań.

Odpowiedź: $m=2$.

Krok 1 — dodajemy równania stronami:

$$2x=s+r \quad\Rightarrow\quad x=\frac{s+r}{2}$$

Krok 2 — odejmujemy równania stronami:

$$2y=s-r \quad\Rightarrow\quad y=\frac{s-r}{2}$$

Krok 3 — wniosek. Dla dowolnych $s,r$ wzory dają jednoznaczne wartości $x$ i $y$, więc rozwiązanie zawsze istnieje i jest jedno. $\quad∎$

Zastosowanie. To gotowy przepis na zadania typu „suma i różnica”: $x=\frac{\text{suma}+\text{różnica}}{2}$. Sprawdzenie dla $s=20$, $r=6$: $x=13$, $y=7$ — zgodnie z zad. 16 ✔