Zadanie 3 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2016 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Podobieństwo trójkątów.

Ponieważ \(CD\parallel AB\), kąty \(ACD\) i \(CAB\) są naprzemianległe, więc \(|\angle ACD|=|\angle CAB|\).

Z założenia \(|\angle CAD|=|\angle ABC|\).

Trójkąty \(ACD\) i \(BAC\) mają więc po dwa równe kąty, zatem są podobne, przy czym odpowiadające sobie wierzchołki to \(A\leftrightarrow B\), \(C\leftrightarrow A\), \(D\leftrightarrow C\).

Krok 2. Proporcje boków.

\(\frac{|AC|}{|BA|}=\frac{|CD|}{|AC|}=\frac{|AD|}{|BC|}\)

Z ostatniego stosunku:

\(\frac{|AD|}{|BC|}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\)

Krok 3. Długość \(AB\).

\(\frac{|AC|}{|AB|}=\frac{1}{2}\Rightarrow|AB|=2|AC|=2\cdot 10=20\)

Odpowiedź: B.