Krok 1. Położenie odcinka \(DE\).
Ponieważ \(|BD|=|CE|\), a trójkąt \(BCS\) jest równoramienny, odcinek \(DE\) jest równoległy do \(BC\). Z twierdzenia Talesa:
\(\frac{|SD|}{|SB|}=\frac{|DE|}{|BC|}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
Krok 2. Oznaczenia.
Niech \(M\) będzie środkiem \(BC\), \(N\) — środkiem \(DE\), \(O\) — środkiem podstawy (spodkiem wysokości), a \(H=|SO|\).
Z symetrii punkt \(N\) leży na odcinku \(SM\), przy czym \(\frac{|SN|}{|SM|}=\frac{2}{3}\).
\(|AM|=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\), \(\;|AO|=\frac{2}{3}|AM|=2\sqrt{3}\), \(\;|OM|=\sqrt{3}\)
Krok 3. Wykorzystanie prostopadłości płaszczyzn.
Płaszczyzny \(ADE\) i \(BCS\) przecinają się wzdłuż prostej \(DE\). Ponieważ \(|AD|=|AE|\), odcinek \(AN\) jest prostopadły do \(DE\). Z warunku prostopadłości płaszczyzn wynika, że \(AN\perp\) płaszczyzna \(BCS\), a w szczególności:
\(AN\perp SM\)
Krok 4. Równanie na \(H\).
Oznaczmy \(m=|SM|\). Wtedy \(|SN|=\frac{2}{3}m\) oraz \(|NM|=\frac{1}{3}m\).
Z trójkąta prostokątnego \(ANM\):
\(|AN|^2=|AM|^2-|NM|^2=27-\frac{m^2}{9}\)
Z trójkąta prostokątnego \(ANS\):
\(|AN|^2=|AS|^2-|SN|^2=|AS|^2-\frac{4}{9}m^2\)
Ponadto \(m^2=H^2+|OM|^2=H^2+3\) oraz \(|AS|^2=H^2+|AO|^2=H^2+12\).
Przyrównujemy:
\(27-\frac{H^2+3}{9}=H^2+12-\frac{4\left(H^2+3\right)}{9}\)
Mnożymy przez \(9\):
\(243-H^2-3=9H^2+108-4H^2-12\)
\(240-H^2=5H^2+96\)
\(6H^2=144\Rightarrow H^2=24\Rightarrow H=2\sqrt{6}\)
Krok 5. Objętość.
\(P_p=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\)
\(V=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}=6\sqrt{18}=18\sqrt{2}\)
Odpowiedź: \(V=18\sqrt{2}\)
