Krok 1. Oznaczenia.
Przekątna \(AC\) dzieli kąty \(BAD\) i \(BCD\) na części:
\(|\angle BAC|=a_1\), \(\;|\angle CAD|=a_2\), \(\;|\angle BCA|=c_1\), \(\;|\angle ACD|=c_2\)
Ponadto \(|\angle ABC|=\beta\) oraz \(|\angle ADC|=\delta\).
Krok 2. Kąty w trójkącie \(AEC\).
Prosta \(AE\) jest dwusieczną kąta \(BAD\), więc \(|\angle BAE|=\frac{a_1+a_2}{2}\). Ponieważ punkty \(B\) i \(E\) leżą po przeciwnych stronach prostej \(AC\), półprosta \(AE\) leży „za" półprostą \(AC\), zatem:
\(|\angle CAE|=\frac{a_1+a_2}{2}-a_1=\frac{a_2-a_1}{2}\)
Analogicznie dla dwusiecznej kąta \(BCD\):
\(|\angle ACE|=\frac{c_1+c_2}{2}-c_1=\frac{c_2-c_1}{2}\)
Z sumy kątów w trójkącie \(AEC\):
\(|\angle AEC|=180^\circ-\frac{a_2-a_1}{2}-\frac{c_2-c_1}{2}\)
\(2\cdot|\angle AEC|=360^\circ-\left(a_2+c_2\right)+\left(a_1+c_1\right)\)
Krok 3. Sumy kątów w trójkątach \(ABC\) i \(ACD\).
\(a_1+c_1+\beta=180^\circ\Rightarrow a_1+c_1=180^\circ-\beta\)
\(a_2+c_2+\delta=180^\circ\Rightarrow a_2+c_2=180^\circ-\delta\)
Krok 4. Podstawienie.
\(2\cdot|\angle AEC|=360^\circ-\left(180^\circ-\delta\right)+\left(180^\circ-\beta\right)=360^\circ+\delta-\beta\)
Zatem:
\(\beta-\delta+2|\angle AEC|=\beta-\delta+360^\circ+\delta-\beta=360^\circ\)
czyli \(|\angle ABC|-|\angle ADC|+2\cdot|\angle AEC|=360^\circ\), co należało wykazać. \(\blacksquare\)
