Zadanie 4 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2021 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Amplituda.

Z wykresu odczytujemy największą wartość funkcji: \(2\pi\), a najmniejszą: \(-2\pi\). Amplituda wynosi więc \(2\pi\), co eliminuje odpowiedzi A i C (tam amplituda wynosi \(2\)).

Krok 2. Okres.

Kolejne maksima występują dla \(x=\pi\) oraz \(x=5\pi\), więc okres podstawowy funkcji jest równy:

\(T=5\pi-\pi=4\pi\)

Dla funkcji \(f(x)=A\sin(\omega x)\) okres wynosi \(T=\frac{2\pi}{|\omega|}\), zatem:

\(4\pi=\frac{2\pi}{|\omega|}\Rightarrow|\omega|=\frac{1}{2}\)

Wzorem funkcji jest więc \(f(x)=2\pi\sin\left(\frac{x}{2}\right)\).

Sprawdzenie: \(f(\pi)=2\pi\sin\frac{\pi}{2}=2\pi\) ✓, \(f(2\pi)=2\pi\sin\pi=0\) ✓

Odpowiedź: D.