Zadanie 10 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2022 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Obie sumy.

Z założenia \(a_1=q\) oraz \(|q|\lt 1\) i \(q\neq 0\) (inaczej sumy byłyby zerowe, a iloraz \(\frac{S_N}{S_P}\) nie istniałby).

Wyrazy o numerach nieparzystych: \(a_1,a_3,a_5,\ldots\) tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(q\) i ilorazie \(q^2\):

\(S_N=\frac{q}{1-q^2}\)

Wyrazy o numerach parzystych: \(a_2,a_4,\ldots\) — pierwszy wyraz \(q^2\), iloraz \(q^2\):

\(S_P=\frac{q^2}{1-q^2}\)

Krok 2. Przekształcenie warunku.

\(\frac{S_N}{S_P}=\frac{q}{q^2}=\frac{1}{q}\)

\(S_N-S_P=\frac{q-q^2}{1-q^2}=\frac{q(1-q)}{(1-q)(1+q)}=\frac{q}{1+q}\)

Warunek zadania:

\(\frac{1}{q}=\frac{q}{1+q}\)

Krok 3. Równanie kwadratowe.

\(1+q=q^2\)

\(q^2-q-1=0\)

\(\Delta=1+4=5\)

\(q_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx-0{,}618\), \(\;q_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}618\)

Krok 4. Warunek \(|q|\lt 1\).

Liczba \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\gt 1\) — odrzucamy. Pozostaje:

\(q=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\), przy czym \(\left|\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right|\approx 0{,}618\lt 1\) ✓

Odpowiedź: \(q=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)